1. **Aufgabe 1: Zuordnung von Stammfunktionen zu Ausgangsfunktionen** Gegeben sind Funktionen F und f. Wir bestimmen jeweils die Ableitung von F, um f zu erhalten. - Für $F(x) = \frac{1}{2} x^3$ gilt: $$F'(x) = \frac{1}{2} \cdot 3 x^{3-1} = \frac{3}{2} x^2$$ Also ist $f(x) = \frac{3}{2} x^2$ (entspricht Funktion 2). - Für $F(x) = \frac{3}{2} x^2$ gilt: $$F'(x) = \frac{3}{2} \cdot 2 x^{2-1} = 3 x$$ Also ist $f(x) = 3 x$ (entspricht Funktion B). - Für $F(x) = \frac{1}{3} x^2$ gilt: $$F'(x) = \frac{1}{3} \cdot 2 x^{2-1} = \frac{2}{3} x$$ Also ist $f(x) = \frac{2}{3} x$ (entspricht Funktion C). - Für $F(x) = \frac{3}{2} x^3$ gilt: $$F'(x) = \frac{3}{2} \cdot 3 x^{3-1} = \frac{9}{2} x^2$$ Diese Funktion entspricht keiner der gegebenen $f(x)$ direkt, aber $\frac{9}{2} x^2 = 4.5 x^2$ (entspricht Funktion E). **Zusammenfassung:** - 1 $\to$ 2 - 2 $\to$ B - 3 $\to$ C - 4 $\to$ E 2. **Aufgabe 2: Bestimmung von a bei gegebenen Funktionen** Wir nutzen die Regel $F'(x) = f(x)$ und die Potenzregel $\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$. (a) $f(x) = 3 x^2$, $F(x) = x^a$ $$F'(x) = a x^{a-1} = 3 x^2$$ Vergleiche Exponenten und Koeffizienten: $$a - 1 = 2 \Rightarrow a = 3$$ $$a = 3$$ (b) $f(x) = 2 x$, $F(x) = x^2 - a$ $$F'(x) = 2 x - 0 = 2 x$$ Hier ist $a$ eine Konstante, die beim Ableiten verschwindet. Also ist $a$ beliebig. (c) $f(x) = 4 x^3$, $F(x) = x^4 + 1 + a$ $$F'(x) = 4 x^3 + 0 + 0 = 4 x^3$$ $a$ ist eine Konstante, die beim Ableiten verschwindet, also beliebig. (d) $f(x) = (a + 1) x$, $F(x) = x^{a+1}$ $$F'(x) = (a + 1) x^{a + 1 - 1} = (a + 1) x^a$$ Vergleiche mit $f(x) = (a + 1) x = (a + 1) x^1$: $$x^a = x^1 \Rightarrow a = 1$$ **Endergebnisse:** - (a) $a = 3$ - (b) $a$ beliebig - (c) $a$ beliebig - (d) $a = 1$