1. ندرس تغيرات الدالة $g$ المعرفة على المجال $]0; +\infty[$ حيث: $$g(x) = 1 + x^2 - 2x^2 \ln x$$ 2. نحسب المشتقة $g'(x)$ لايجاد نقاط التغير: $$g'(x) = \frac{d}{dx} \left(1 + x^2 - 2x^2 \ln x\right) = 2x - 2 \frac{d}{dx} (x^2 \ln x)$$ 3. نستخدم قاعدة الضرب للمشتقة: $$\frac{d}{dx} (x^2 \ln x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$$ 4. إذن: $$g'(x) = 2x - 2(2x \ln x + x) = 2x - 4x \ln x - 2x = -4x \ln x$$ 5. ندرس إشارة $g'(x)$ على $]0; +\infty[$: - لأن $x > 0$، إشارة $g'(x)$ تعتمد على $-\ln x$. - إذا كان $x < 1$، فإن $\ln x < 0$، إذن $-\ln x > 0$، فـ $g'(x) > 0$. - إذا كان $x > 1$، فإن $\ln x > 0$، إذن $-\ln x < 0$، فـ $g'(x) < 0$. 6. إذن $g$ تزداد على $]0;1[$ وتنقص على $]1; +\infty[$. 7. نحسب قيمة $g$ عند $x=1$: $$g(1) = 1 + 1^2 - 2 \cdot 1^2 \cdot \ln 1 = 1 + 1 - 0 = 2$$ 8. ندرس نهاية $g$ عند 0 و+\infty: - عند $x \to 0^+$، لأن $x^2 \ln x \to 0$, و $x^2 \to 0$, إذن: $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = 1$$ - عند $x \to +\infty$, $x^2$ و $x^2 \ln x$ تنمو بسرعة كبيرة، لكن $-2x^2 \ln x$ سالب كبير، لذا: $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$$ 9. نرسم جدول التغيرات: | المجال | $]0,1[$ | $1$ | $]1,+\infty[$ | |--------|---------|-----|--------------| | $g'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | | $g(x)$ | تزايد | 2 | تناقص | 10. نثبت وجود حل وحيد $\alpha$ للمعادلة $g(x) = 0$ في المجال $]1.5; 2[$: - $g(1.5) = 1 + (1.5)^2 - 2(1.5)^2 \ln(1.5) \approx 1 + 2.25 - 4.5 \times 0.405 = 3.25 - 1.8225 = 1.4275 > 0$ - $g(2) = 1 + 4 - 8 \ln 2 = 5 - 8 \times 0.693 = 5 - 5.544 = -0.544 < 0$ 11. حسب نظرية القيم المتوسطة، يوجد $\alpha \in ]1.5; 2[$ بحيث $g(\alpha) = 0$. 12. وبما أن $g$ تناقص على $]1; +\infty[$، فإن هذا الحل وحيد. 13. نستنتج إشارة $g$ على $]0; +\infty[$: - $g(x) > 0$ على $]0; \alpha[$ - $g(x) = 0$ عند $x = \alpha$ - $g(x) < 0$ على $]\alpha; +\infty[$ الجواب النهائي: - الدالة $g$ تزداد على $]0;1[$ وتنقص على $]1; +\infty[$. - المعادلة $g(x) = 0$ لها حل وحيد $\alpha \in ]1.5; 2[$. - إشارة $g$ موجبة على $]0; \alpha[$ وسالبة على $]\alpha; +\infty[$.