1. Das Problem: Wir wollen die Gleichung einer Tangente an eine Kurve an einem bestimmten Punkt berechnen. 2. Formel: Die Tangentengleichung an der Stelle $x=a$ lautet: $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$ Hierbei ist $f'(a)$ die Ableitung der Funktion $f(x)$ an der Stelle $a$, also die Steigung der Tangente. 3. Wichtige Regeln: - Die Ableitung $f'(x)$ gibt die Steigung der Kurve an jedem Punkt $x$ an. - Die Tangente berührt die Kurve genau an einem Punkt und hat dort dieselbe Steigung. 4. Schritte zur Berechnung: - Berechne die Ableitung $f'(x)$ der Funktion $f(x)$. - Setze $x=a$ in $f'(x)$ ein, um die Steigung $m = f'(a)$ zu erhalten. - Berechne den Funktionswert $f(a)$. - Setze $m$, $a$ und $f(a)$ in die Tangentengleichung ein: $$y = m(x - a) + f(a)$$ 5. Beispiel: Für $f(x) = x^2$ und $a=2$: - $f'(x) = 2x$ - $f'(2) = 4$ - $f(2) = 4$ - Tangentengleichung: $$y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 8 + 4 = 4x - 4$$ Die Tangente an der Stelle $x=2$ ist also $y = 4x - 4$.