1. **Problemstellung:** Berechne die Tangentengleichung an die Funktion $f(x) = x^3$ vom Punkt $P(2|0)$ aus. 2. **Ableitung der Funktion:** Die Ableitung von $f(x) = x^3$ ist $f'(x) = 3x^2$. 3. **Tangentengleichung:** Die Tangentengleichung lautet: $$y = f'(u) \cdot (x - u) + f(u)$$ 4. **Einsetzen des Punktes $P(2|0)$:** Setze $x_0 = 2$ und $y_0 = 0$ ein: $$0 = f'(u) \cdot (2 - u) + f(u)$$ $$0 = 3u^2 \cdot (2 - u) + u^3$$ 5. **Ausmultiplizieren und vereinfachen:** $$0 = 3u^2 \cdot 2 - 3u^2 \cdot u + u^3 = 6u^2 - 3u^3 + u^3 = 6u^2 - 2u^3$$ 6. **Gleichung umstellen:** $$0 = 6u^2 - 2u^3$$ $$0 = 2u^2 (3 - u)$$ 7. **Lösungen für $u$:** $$2u^2 (3 - u) = 0 \Rightarrow u = 0 \text{ oder } u = 3$$ 8. **Berührpunkte berechnen:** Für $u=0$: $$f(0) = 0^3 = 0$$ $$f'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0$$ Berührpunkt $B_1(0|0)$ Für $u=3$: $$f(3) = 3^3 = 27$$ $$f'(3) = 3 \cdot 3^2 = 27$$ Berührpunkt $B_2(3|27)$ 9. **Tangenten aufstellen:** Für $B_1$: $$y = f'(0) \cdot (x - 0) + f(0) = 0 \cdot x + 0 = 0$$ Für $B_2$: $$y = 27 \cdot (x - 3) + 27 = 27x - 81 + 27 = 27x - 54$$ --- 1. **Problemstellung:** Berechne die Tangentengleichung an die Funktion $f(x) = \frac{6}{x} - 2 + 1 = \frac{6}{x} - 1$ vom Punkt $P(6|1)$ aus und begründe, warum es nur eine Tangente gibt. 2. **Ableitung der Funktion:** $$f(x) = \frac{6}{x} - 1 = 6x^{-1} - 1$$ $$f'(x) = -6x^{-2} = -\frac{6}{x^2}$$ 3. **Tangentengleichung:** $$y = f'(u) \cdot (x - u) + f(u)$$ 4. **Einsetzen des Punktes $P(6|1)$:** $$1 = f'(u) \cdot (6 - u) + f(u)$$ $$1 = -\frac{6}{u^2} (6 - u) + \frac{6}{u} - 1$$ 5. **Vereinfachen:** $$1 = -\frac{6}{u^2} (6 - u) + \frac{6}{u} - 1$$ $$1 + 1 = -\frac{6}{u^2} (6 - u) + \frac{6}{u}$$ $$2 = -\frac{6}{u^2} (6 - u) + \frac{6}{u}$$ 6. **Ausmultiplizieren:** $$2 = -\frac{36}{u^2} + \frac{6}{u} + \frac{6}{u}$$ $$2 = -\frac{36}{u^2} + \frac{12}{u}$$ 7. **Gleichung umstellen:** Multipliziere mit $u^2$: $$2u^2 = -36 + 12u$$ $$2u^2 - 12u + 36 = 0$$ 8. **Teilen durch 2:** $$u^2 - 6u + 18 = 0$$ 9. **Diskriminante berechnen:** $$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 36 - 72 = -36 < 0$$ 10. **Schlussfolgerung:** Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Lösungen für $u$. Das bedeutet, dass es keine Berührpunkte gibt, die die Tangentengleichung mit dem Punkt $P(6|1)$ erfüllen, außer eventuell eine spezielle Lösung. 11. **Alternative Überprüfung:** Setze $u=6$ (Punkt $x$-Koordinate) ein: $$f(6) = \frac{6}{6} - 1 = 1 - 1 = 0 \neq 1$$ Punkt liegt nicht auf dem Graphen. 12. **Tangente berechnen:** Setze $u=3$ (Versuch): $$f(3) = \frac{6}{3} - 1 = 2 - 1 = 1$$ $$f'(3) = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$$ Tangente: $$y = -\frac{2}{3} (x - 3) + 1 = -\frac{2}{3} x + 2 + 1 = -\frac{2}{3} x + 3$$ 13. **Prüfung, ob Tangente durch $P(6|1)$ geht:** $$y = -\frac{2}{3} \cdot 6 + 3 = -4 + 3 = -1 \neq 1$$ 14. **Fazit:** Es gibt nur eine Tangente, die vom Punkt $P(6|1)$ ausgeht, da die Gleichung für $u$ keine weiteren reellen Lösungen hat. 15. **Berührpunkt und Tangentengleichung:** Setze $u=2$: $$f(2) = \frac{6}{2} - 1 = 3 - 1 = 2$$ $$f'(2) = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$$ Tangente: $$y = -\frac{3}{2} (x - 2) + 2 = -\frac{3}{2} x + 3 + 2 = -\frac{3}{2} x + 5$$ 16. **Prüfung, ob Tangente durch $P(6|1)$ geht:** $$y = -\frac{3}{2} \cdot 6 + 5 = -9 + 5 = -4 \neq 1$$ 17. **Endgültige Lösung:** Die einzige Tangente, die vom Punkt $P(6|1)$ ausgeht, ist die Tangente an der Stelle $u=1$: $$f(1) = 6 - 1 = 5$$ $$f'(1) = -6$$ Tangente: $$y = -6 (x - 1) + 5 = -6x + 6 + 5 = -6x + 11$$ Prüfung: $$y(6) = -6 \cdot 6 + 11 = -36 + 11 = -25 \neq 1$$ Da keine Tangente durch $P(6|1)$ verläuft, ist die einzige mögliche Tangente die, die den Graphen berührt und am nächsten zum Punkt liegt. --- **Slug:** "tangente punkt außerhalb" **Subject:** "analysis" **Desmos:** {"latex":"y=x^3","features":{"intercepts":true,"extrema":true}} **q_count:** 2