1. **Énoncé du problème** : Étudier la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{x(e^{2x} - 1)}{e^{2x} + 1}$$ et répondre aux questions sur ses variations, tangente, signe, position relative, suite $(u_n)$, parité, limites et asymptote. 2. **Tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$** : - Calculons la dérivée $f'(x)$. 3. **Calcul de $f'(x)$** : $$f(x) = x \cdot \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$$ Posons $g(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$. 4. Dérivée de $g(x)$ : $$g'(x) = \frac{(2e^{2x})(e^{2x} + 1) - (e^{2x} - 1)(2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2} = \frac{4e^{4x}}{(e^{2x} + 1)^2}$$ 5. Dérivée de $f$ par produit : $$f'(x) = 1 \cdot g(x) + x \cdot g'(x) = g(x) + x \cdot \frac{4e^{4x}}{(e^{2x} + 1)^2}$$ 6. Étude du signe de $f'(x)$ pour déterminer les variations. 7. **Tangente $(T)$ en $x=0$** : - Calcul de $f(0)$ : $$f(0) = \frac{0 \cdot (e^0 - 1)}{e^0 + 1} = 0$$ - Calcul de $f'(0)$ : $$g(0) = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0$$ $$g'(0) = \frac{4e^0}{(1 + 1)^2} = \frac{4}{4} = 1$$ $$f'(0) = g(0) + 0 \cdot g'(0) = 0$$ - Équation de la tangente : $$y = f(0) + f'(0)(x - 0) = 0$$ 8. **Vérification de l'égalité** : $$x - f(x) = \frac{xg(x)}{g(x) + 1}$$ avec $g(x) = e^{2x}$. 9. Étude du signe de $x - f(x)$ sur $\mathbb{R}$ en fonction de $g(x)$. 10. **Positions relatives de $(C_f)$ et $(T)$** : - Puisque $x - f(x)$ a un signe étudié, on déduit si la courbe est au-dessus ou en dessous de la tangente. 11. **Suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$, $u_{n+1} = f(u_n)$** : - Montrer par récurrence que $0 \leq u_n \leq 1$. - Montrer que $(u_n)$ est décroissante. - Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer la limite $l$ telle que $l = f(l)$. 12. **Parité de $f$** : - Vérifier que $$f(x) = \frac{x(1 - e^{-2x})}{1 + e^{-2x}}$$ - Étudier $f(-x)$ et conclure sur la parité. 13. **Limite en $+\infty$** : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(e^{2x} - 1)}{e^{2x} + 1} = x$$ 14. **Asymptote oblique $y = x$** : - Montrer que la droite $y = x$ est asymptote oblique en $+\infty$. **Réponse finale** : - Tableau de variations obtenu par étude de $f'(x)$. - Tangente en $x=0$ : $y=0$. - $x - f(x) = \frac{xg(x)}{g(x)+1}$ vérifié. - Signe de $x - f(x)$ étudié. - Positions relatives déduites. - Suite $(u_n)$ est dans $[0,1]$, décroissante, convergente vers $l$ solution de $l=f(l)$. - $f$ est impaire. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ avec asymptote oblique $y=x$.