1. **Énoncé du problème :** Vérifier que pour tout $x \in ]0,+\infty[$, $f(x) = x + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \ln x - 1\right) \ln x$. 2. **Formule et règles importantes :** La fonction $f$ est donnée explicitement. On doit vérifier l'expression donnée pour $f(x)$. 3. **Travail intermédiaire :** On écrit $f(x)$ comme : $$f(x) = x + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \ln x - 1\right) \ln x = x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\ln x)^2 - \ln x$$ 4. **Explication :** On a simplement développé le produit $\left(\frac{1}{2} \ln x - 1\right) \ln x$ en $\frac{1}{2} (\ln x)^2 - \ln x$. 5. **Conclusion :** L'expression donnée est correcte et vérifiée pour tout $x > 0$. **Réponse finale :** $$f(x) = x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\ln x)^2 - \ln x$$