1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $$f(t) = 0,25 t^3 - 12 t^2 + 144 t$$, die die Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in einem Stausee beschreibt. Gesucht sind die Nullstellen von $$f$$ und die Extrempunkte des Graphen von $$f$$. 2. **Nullstellen berechnen:** Nullstellen sind Werte von $$t$$, für die $$f(t) = 0$$ gilt. \[0,25 t^3 - 12 t^2 + 144 t = 0\] Faktor ausklammern: \[t (0,25 t^2 - 12 t + 144) = 0\] Damit sind die Nullstellen entweder $$t = 0$$ oder die Nullstellen der quadratischen Gleichung: \[0,25 t^2 - 12 t + 144 = 0\] 3. **Quadratische Gleichung lösen:** Multiplizieren wir mit 4, um die Dezimalstellen zu entfernen: \[t^2 - 48 t + 576 = 0\] Diskriminante berechnen: $$\Delta = (-48)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 576 = 2304 - 2304 = 0$$ Da $$\Delta = 0$$, gibt es eine doppelte Nullstelle: $$t = \frac{48}{2} = 24$$ 4. **Nullstellen zusammenfassen:** $$t = 0$$ und $$t = 24$$ 5. **Extremstellen berechnen:** Dazu benötigen wir die erste Ableitung $$f'(t)$$: $$f'(t) = 0,75 t^2 - 24 t + 144$$ Setze $$f'(t) = 0$$: $$0,75 t^2 - 24 t + 144 = 0$$ Multiplizieren mit 4, um Dezimalstellen zu entfernen: $$3 t^2 - 96 t + 576 = 0$$ Diskriminante: $$\Delta = (-96)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 576 = 9216 - 6912 = 2304$$ Wurzeln: $$t = \frac{96 \pm \sqrt{2304}}{2 \cdot 3} = \frac{96 \pm 48}{6}$$ Also: $$t_1 = \frac{96 - 48}{6} = 8$$ $$t_2 = \frac{96 + 48}{6} = 24$$ 6. **Art der Extremstellen bestimmen:** Berechne die zweite Ableitung: $$f''(t) = 1,5 t - 24$$ Für $$t=8$$: $$f''(8) = 1,5 \cdot 8 - 24 = 12 - 24 = -12 < 0$$ Also ist bei $$t=8$$ ein Hochpunkt. Für $$t=24$$: $$f''(24) = 1,5 \cdot 24 - 24 = 36 - 24 = 12 > 0$$ Also ist bei $$t=24$$ ein Tiefpunkt. 7. **Koordinaten der Extrempunkte:** $$f(8) = 0,25 \cdot 8^3 - 12 \cdot 8^2 + 144 \cdot 8 = 0,25 \cdot 512 - 12 \cdot 64 + 1152 = 128 - 768 + 1152 = 512$$ $$f(24) = 0,25 \cdot 24^3 - 12 \cdot 24^2 + 144 \cdot 24 = 0,25 \cdot 13824 - 12 \cdot 576 + 3456 = 3456 - 6912 + 3456 = 0$$ **Endergebnis:** - Nullstellen: $$t=0$$ und $$t=24$$ - Hochpunkt bei $$t=8$$ mit $$f(8)=512$$ - Tiefpunkt bei $$t=24$$ mit $$f(24)=0$$