1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $$f(x) = e^{-0,5x} \cdot (x^2 - 6x + 8)$$ mit $$x \in [0; \infty[$$. Gesucht sind Eigenschaften und Verhalten der Funktion, insbesondere Nullstellen, Extremstellen und das Verhalten für große $$x$$. 2. **Formel und Regeln:** Die Funktion ist ein Produkt aus einer Exponentialfunktion $$e^{-0,5x}$$ und einem Polynom $$x^2 - 6x + 8$$. Wichtig ist, dass $$e^{-0,5x} > 0$$ für alle $$x$$ ist, daher bestimmen die Nullstellen und Extremstellen hauptsächlich das Polynom und dessen Ableitungen. 3. **Nullstellen bestimmen:** Setze $$f(x) = 0$$: $$ 0 = e^{-0,5x} \cdot (x^2 - 6x + 8) $$ Da $$e^{-0,5x} \neq 0$$, gilt: $$ 0 = x^2 - 6x + 8 $$ Faktorisieren: $$ 0 = (x - 2)(x - 4) $$ Also sind die Nullstellen bei $$x = 2$$ und $$x = 4$$. 4. **Ableitung berechnen:** Für Extremstellen berechnen wir $$f'(x)$$ mit Produktregel: $$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left(e^{-0,5x}\right) \cdot (x^2 - 6x + 8) + e^{-0,5x} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 - 6x + 8) $$ Ableitungen: $$ \frac{d}{dx} e^{-0,5x} = -0,5 e^{-0,5x} $$ $$ \frac{d}{dx} (x^2 - 6x + 8) = 2x - 6 $$ Einsetzen: $$ f'(x) = -0,5 e^{-0,5x} (x^2 - 6x + 8) + e^{-0,5x} (2x - 6) $$ Faktor $$e^{-0,5x}$$ ausklammern: $$ f'(x) = e^{-0,5x} \left(-0,5 (x^2 - 6x + 8) + (2x - 6)\right) $$ 5. **Klammer vereinfachen:** $$ -0,5 (x^2 - 6x + 8) + (2x - 6) = -0,5x^2 + 3x - 4 + 2x - 6 = -0,5x^2 + 5x - 10 $$ 6. **Extremstellen bestimmen:** Setze $$f'(x) = 0$$: $$ 0 = e^{-0,5x} (-0,5x^2 + 5x - 10) $$ Da $$e^{-0,5x} \neq 0$$, gilt: $$ 0 = -0,5x^2 + 5x - 10 $$ Multipliziere mit $$-2$$ zur Vereinfachung: $$ 0 = x^2 - 10x + 20 $$ 7. **Löse die quadratische Gleichung:** $$ x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 80}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{20}}{2} $$ $$ = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 5 \pm \sqrt{5} $$ Also sind die Extremstellen bei $$x = 5 - \sqrt{5} \approx 2,76$$ und $$x = 5 + \sqrt{5} \approx 7,24$$. 8. **Verhalten für $$x \to \infty$$:** Da $$e^{-0,5x}$$ gegen 0 geht und das Polynom quadratisch wächst, dominiert der Exponentialterm, sodass $$f(x) \to 0$$ für $$x \to \infty$$. **Zusammenfassung:** - Nullstellen bei $$x=2$$ und $$x=4$$ - Extremstellen bei $$x \approx 2,76$$ (Minimum oder Maximum prüfen) und $$x \approx 7,24$$ - $$f(x)$$ nähert sich 0 für große $$x$$