1. **Problem:** Entscheiden Sie, ob die Aussagen zu Wendestellen für eine dreimal differenzierbare Funktion $f$ richtig oder falsch sind. 2. **Wichtige Regeln:** - Eine Wendestelle $x_0$ ist ein Punkt, an dem die zweite Ableitung $f''(x)$ ihr Vorzeichen wechselt. - Für eine Wendestelle gilt: $f''(x_0) = 0$ und $f'''(x_0) \neq 0$ (notwendig für einen echten Vorzeichenwechsel). - Die erste Ableitung $f'(x)$ kann an einer Wendestelle beliebig sein, muss aber nicht null sein. 3. **Bewertung der Aussagen:** **a)** "An einer Wendestelle $x_0$ ist $f''(x_0) \neq 0$." - Falsch. An einer Wendestelle ist $f''(x_0) = 0$. **b)** "Ist $f'''(x_0) \neq 0$, so ist $x_0$ eine Wendestelle." - Falsch. $f''(x_0)$ muss auch null sein, sonst ist es keine Wendestelle. **c)** "An einer Wendestelle $x_0$ ist $f''(x_0) = 0$." - Richtig. Dies ist eine notwendige Bedingung. **d)** "An einer Wendestelle wechselt $f'$ das Vorzeichen." - Falsch. $f'$ muss nicht das Vorzeichen wechseln, nur $f''$. **e)** "An einer Wendestelle wechselt $f''$ das Vorzeichen." - Richtig. Das ist die Definition einer Wendestelle. **f)** "Ist $f''(x_0) = 0$, so kann $x_0$ keine Wendestelle sein." - Falsch. $f''(x_0) = 0$ ist notwendig, aber nicht hinreichend. Es kann Wendestelle sein, wenn $f''$ das Vorzeichen wechselt. **g)** "Wechselt an einer Stelle $x_0$ die zweite Ableitung ihr Vorzeichen von '+' nach '-', so ist $x_0$ eine Wendestelle." - Richtig. Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung definiert Wendestelle. **h)** "An einer Wendestelle wechselt $f''$ ihr Vorzeichen von '+' nach '-'." - Falsch. Der Vorzeichenwechsel kann auch von '-' nach '+' sein. **i)** "Wenn eine Funktion keine Extremstelle hat, so kann sie auch keine Wendestelle haben." - Falsch. Wendestellen und Extremstellen sind unabhängig. **j)** "Jede ganzrationale Funktion, die ein lokales Minimum und ein lokales Maximum hat, hat auch eine Wendestelle." - Richtig. Zwischen Extremstellen gibt es mindestens eine Wendestelle (Satz von Rolle auf $f''$). **Endergebnis:** - a) Falsch - b) Falsch - c) Richtig - d) Falsch - e) Richtig - f) Falsch - g) Richtig - h) Falsch - i) Falsch - j) Richtig