1. **Problemstellung:** Gegeben sind die Graphen einer Funktion $f$ und ihrer Ableitungsfunktion $f'$. Gesucht sind die Werte von $f$ und $f'$ an bestimmten Stellen sowie weitere Eigenschaften der Funktion und ihrer Ableitung. 2. **Wichtige Regeln:** - $f(x)$ gibt den Funktionswert an der Stelle $x$ an. - $f'(x)$ gibt die Steigung (Ableitung) der Funktion $f$ an der Stelle $x$ an. - Die Ableitung an einer Stelle ist die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ an dieser Stelle. 3. **Gegebene Informationen aus dem Graphen:** - $f$ schneidet die $x$-Achse ungefähr bei $-3$ und $1$. - $f$ hat ein lokales Maximum bei etwa $x=-2$ und ein lokales Minimum bei etwa $x=0$. - $f'$ schneidet die $x$-Achse bei $x=-1$ und $x=2$. - $f'$ hat ein lokales Minimum bei etwa $x=0$ und ein lokales Maximum bei etwa $x=1$. 4. **Berechnung der Werte:** **a) $f(-1)$:** - Im Graphen von $f$ bei $x=-1$ liegt der Funktionswert ungefähr bei $0{,}5$. **b) $f(2)$:** - Im Graphen von $f$ bei $x=2$ liegt der Funktionswert ungefähr bei $-1$. **c) $f'(-1)$:** - $f'$ schneidet die $x$-Achse bei $x=-1$, also ist $f'(-1)=0$. **d) $f'(2)$:** - $f'$ schneidet die $x$-Achse bei $x=2$, also ist $f'(2)=0$. **e) $f'(-1)$:** - Wie in (c), $f'(-1)=0$. **f) $f'(2)$:** - Wie in (d), $f'(2)=0$. **g) Ableitung von $f$ an der Stelle $0$:** - Im Graphen von $f'$ bei $x=0$ ist der Wert ungefähr $-2$. - Also ist $f'(0) \, \approx \, -2$. **h) Zwei Stellen mit $f(b) = 1$:** - Im Graphen von $f$ ist $f(x)=1$ ungefähr bei $x=-3{,}5$ und $x=1{,}5$. **i) Eine Stelle mit $f(a) = 1$:** - Wie in (h), z.B. $a = -3{,}5$. **j) Steigung der Tangente in $A(-1|0{,}5)$:** - Die Steigung ist $f'(-1)$, also $0$. 5. **Zusammenfassung der Ergebnisse:** $$ \begin{aligned} f(-1) &= 0{,}5 \\ f(2) &= -1 \\ f'(-1) &= 0 \\ f'(2) &= 0 \\ f'(0) &\approx -2 \\ \text{Stellen mit } f(b) = 1 &\approx -3{,}5, 1{,}5 \\ \text{Stelle mit } f(a) = 1 &\approx -3{,}5 \\ \text{Steigung der Tangente in } A(-1|0{,}5) &= 0 \end{aligned} $$ Diese Werte wurden direkt aus den Graphen abgelesen und entsprechen den Eigenschaften der Funktion und ihrer Ableitung.