1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $$a(t) = 100 \cdot t^{2} \cdot e^{-0,5 \cdot t}$$. Gesucht ist die zweite Ableitung $$a''(t)$$. 2. **Formel und Regeln:** Wir verwenden die Produktregel und die Kettenregel für Ableitungen. - Produktregel: $$(fg)' = f'g + fg'$$ - Kettenregel: $$(e^{u(t)})' = u'(t) e^{u(t)}$$ 3. **Erste Ableitung berechnen:** Setze $$f(t) = 100 t^{2}$$ und $$g(t) = e^{-0,5 t}$$. Dann ist $$f'(t) = 200 t$$ und $$g'(t) = -0,5 e^{-0,5 t}$$. Anwenden der Produktregel: $$a'(t) = f'(t) g(t) + f(t) g'(t) = 200 t e^{-0,5 t} + 100 t^{2} (-0,5) e^{-0,5 t}$$ Vereinfachen: $$a'(t) = 200 t e^{-0,5 t} - 50 t^{2} e^{-0,5 t} = e^{-0,5 t} (200 t - 50 t^{2})$$ 4. **Zweite Ableitung berechnen:** Schreibe $$a'(t) = e^{-0,5 t} (200 t - 50 t^{2})$$ als Produkt von $$h(t) = e^{-0,5 t}$$ und $$k(t) = 200 t - 50 t^{2}$$. Berechne $$h'(t) = -0,5 e^{-0,5 t}$$ und $$k'(t) = 200 - 100 t$$. Produktregel anwenden: $$a''(t) = h'(t) k(t) + h(t) k'(t) = -0,5 e^{-0,5 t} (200 t - 50 t^{2}) + e^{-0,5 t} (200 - 100 t)$$ Faktor $$e^{-0,5 t}$$ ausklammern: $$a''(t) = e^{-0,5 t} \left(-0,5 (200 t - 50 t^{2}) + 200 - 100 t \right)$$ Klammer ausmultiplizieren: $$-0,5 (200 t - 50 t^{2}) = -100 t + 25 t^{2}$$ Einsetzen: $$a''(t) = e^{-0,5 t} (-100 t + 25 t^{2} + 200 - 100 t) = e^{-0,5 t} (25 t^{2} - 200 t + 200)$$ 5. **Endergebnis:** $$\boxed{a''(t) = e^{-0,5 t} (25 t^{2} - 200 t + 200)}$$ Dies ist die zweite Ableitung der gegebenen Funktion.