1. **Problem statement:** Gegeben ist die Gerade $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$$. **a)** Finde eine Gleichung der zu $$g$$ parallelen Geraden durch den Punkt $$Q(6|1|-2)$$. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Eine Gerade in Parameterform ist $$\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{d}$$, wobei $$\vec{p}$$ ein Punkt auf der Geraden ist und $$\vec{d}$$ der Richtungsvektor. Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. 3. **Lösung a):** Die Gerade $$g$$ hat den Richtungsvektor $$\vec{d} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$$. Eine Gerade parallel zu $$g$$ durch $$Q$$ hat also die Form: $$ \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} $$ Dies ist die gesuchte Gleichung. --- **b)** Bestimme den Punkt $$B$$ auf der $$x_3$$-Achse, so dass die Gerade durch $$A(10|-8|-3)$$ und $$B$$ parallel zu $$g$$ ist. 4. **Wichtig:** Punkt $$B$$ liegt auf der $$x_3$$-Achse, also hat $$B = (0,0,b_3)$$. Die Gerade durch $$A$$ und $$B$$ hat den Richtungsvektor: $$ \vec{d}_{AB} = \begin{pmatrix} 0 - 10 \\ 0 - (-8) \\ b_3 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ 8 \\ b_3 + 3 \end{pmatrix} $$ 5. **Parallelitätsbedingung:** $$\vec{d}_{AB}$$ muss ein Vielfaches von $$\vec{d} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$$ sein. Also existiert ein $$\lambda$$ mit: $$ \begin{cases} -10 = 5 \lambda \\ 8 = -4 \lambda \\ b_3 + 3 = 2 \lambda \end{cases} $$ 6. **Löse die ersten beiden Gleichungen:** $$ -10 = 5 \lambda \Rightarrow \lambda = -2 $$ $$ 8 = -4 \lambda \Rightarrow \lambda = -2 $$ Beide Werte stimmen überein, also ist $$\lambda = -2$$. 7. **Setze $$\lambda$$ in die dritte Gleichung ein:** $$ b_3 + 3 = 2 \cdot (-2) = -4 $$ $$ b_3 = -4 - 3 = -7 $$ 8. **Ergebnis:** $$B = (0, 0, -7)$$. --- **c)** Gebe eine zu $$g$$ parallele Gerade $$h$$ an, die durch den Mittelpunkt der Strecke $$\overline{AB}$$ mit $$A(2|1|5)$$ und $$B(8|9|13)$$ geht. 9. **Mittelpunkt berechnen:** $$ M = \left( \frac{2+8}{2}, \frac{1+9}{2}, \frac{5+13}{2} \right) = (5, 5, 9) $$ 10. **Gleichung der parallelen Gerade $$h$$:** $$ \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} $$ --- **Endantworten:** a) $$\vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$$ b) $$B = (0, 0, -7)$$ c) $$\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$$