1. مسئله: نوع رویه داده شده به صورت $$x^2 + z^2 - 8x - (1 - 2)y + 2z + 13 = 0$$ را مشخص کنیم و شکل آن را رسم کنیم. 2. ابتدا معادله را بازنویسی می‌کنیم: $$x^2 + z^2 - 8x - (1 - 2)y + 2z + 13 = 0 \Rightarrow x^2 + z^2 - 8x - (1 - 2)y + 2z + 13 = 0$$ 3. توجه کنید که $$1 - 2 = -1$$ پس معادله به شکل زیر است: $$x^2 + z^2 - 8x + y + 2z + 13 = 0$$ 4. معادله را به صورت تابع $$y$$ بازنویسی می‌کنیم: $$y = -x^2 - z^2 + 8x - 2z - 13$$ 5. برای شناسایی نوع رویه، مربع کامل می‌کنیم: برای $$x$$: $$x^2 - 8x = (x^2 - 8x + 16) - 16 = (x - 4)^2 - 16$$ برای $$z$$: $$z^2 + 2z = (z^2 + 2z + 1) - 1 = (z + 1)^2 - 1$$ 6. جایگذاری در معادله: $$y = -[(x - 4)^2 - 16] - [(z + 1)^2 - 1] - 13 = - (x - 4)^2 + 16 - (z + 1)^2 + 1 - 13$$ 7. ساده‌سازی: $$y = - (x - 4)^2 - (z + 1)^2 + (16 + 1 - 13) = - (x - 4)^2 - (z + 1)^2 + 4$$ 8. معادله به شکل: $$y = 4 - (x - 4)^2 - (z + 1)^2$$ 9. این معادله یک سهمی‌سطحی (paraboloid) است که به سمت پایین باز شده است. 10. شکل آن یک کاسه معکوس است که رأس آن در نقطه $$(4,4,-1)$$ قرار دارد. پاسخ نهایی: رویه یک سهمی‌سطحی (paraboloid) باز شده به سمت پایین است با معادله $$y = 4 - (x - 4)^2 - (z + 1)^2$$.