1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión $$E = 2^n + \sqrt[3]{\frac{225^{2n + 4}}{5^{2n + 5} \cdot 4 + 25^{n + 3}}}$$. 2. Recordemos que para simplificar potencias con la misma base, sumamos o restamos exponentes según corresponda. 3. Primero, expresamos las bases en términos de potencias de 5 y 2 para facilitar la simplificación: - $$225 = 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 = 9 \cdot 25$$ - $$25 = 5^2$$ 4. Reescribimos la expresión dentro de la raíz cúbica: $$\frac{225^{2n + 4}}{5^{2n + 5} \cdot 4 + 25^{n + 3}} = \frac{(9 \cdot 25)^{2n + 4}}{5^{2n + 5} \cdot 4 + (5^2)^{n + 3}}$$ 5. Simplificamos las potencias: $$= \frac{9^{2n + 4} \cdot 25^{2n + 4}}{5^{2n + 5} \cdot 4 + 5^{2n + 6}}$$ 6. Observamos que el denominador es la suma de dos términos, por lo que no se puede simplificar directamente la fracción. Sin embargo, podemos intentar factorizar o simplificar cada término. 7. Factorizamos el denominador: $$5^{2n + 5} \cdot 4 + 5^{2n + 6} = 5^{2n + 5} (4 + 5) = 5^{2n + 5} \cdot 9$$ 8. Ahora la expresión dentro de la raíz cúbica es: $$\frac{9^{2n + 4} \cdot 25^{2n + 4}}{5^{2n + 5} \cdot 9}$$ 9. Simplificamos el 9 en numerador y denominador: $$= \frac{9^{2n + 3} \cdot 25^{2n + 4}}{5^{2n + 5}}$$ 10. Recordamos que $$9 = 3^2$$ y $$25 = 5^2$$, entonces: $$= \frac{(3^2)^{2n + 3} \cdot (5^2)^{2n + 4}}{5^{2n + 5}} = \frac{3^{4n + 6} \cdot 5^{4n + 8}}{5^{2n + 5}}$$ 11. Simplificamos las potencias de 5: $$= 3^{4n + 6} \cdot 5^{(4n + 8) - (2n + 5)} = 3^{4n + 6} \cdot 5^{2n + 3}$$ 12. Ahora la expresión dentro de la raíz cúbica es: $$3^{4n + 6} \cdot 5^{2n + 3}$$ 13. Aplicamos la raíz cúbica a cada factor: $$\sqrt[3]{3^{4n + 6} \cdot 5^{2n + 3}} = 3^{\frac{4n + 6}{3}} \cdot 5^{\frac{2n + 3}{3}}$$ 14. Finalmente, la expresión simplificada es: $$E = 2^n + 3^{\frac{4n + 6}{3}} \cdot 5^{\frac{2n + 3}{3}}$$ Este es el resultado simplificado de la expresión original.