1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión $$E = \frac{3^{x+1} + 3^{x+2} + 3^{x+3} + 3^{x+4}}{3^{x-1} + 3^{x-2} + 3^{x-3} + 3^{x-4}}$$. 2. Usamos la propiedad de potencias: $$a^{m+n} = a^m \cdot a^n$$ para factorizar términos con base 3. 3. Factorizamos el numerador sacando factor común $$3^x$$: $$3^{x+1} + 3^{x+2} + 3^{x+3} + 3^{x+4} = 3^x(3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4)$$ 4. Factorizamos el denominador sacando factor común $$3^{x-4}$$: $$3^{x-1} + 3^{x-2} + 3^{x-3} + 3^{x-4} = 3^{x-4}(3^3 + 3^2 + 3^1 + 3^0)$$ 5. Simplificamos la expresión: $$E = \frac{3^x(3 + 9 + 27 + 81)}{3^{x-4}(27 + 9 + 3 + 1)}$$ 6. Calculamos las sumas dentro de paréntesis: $$3 + 9 + 27 + 81 = 120$$ $$27 + 9 + 3 + 1 = 40$$ 7. Reescribimos: $$E = \frac{3^x \cdot 120}{3^{x-4} \cdot 40}$$ 8. Simplificamos la potencia de base 3 usando la propiedad $$\frac{3^x}{3^{x-4}} = 3^{x-(x-4)} = 3^4$$: $$E = \frac{\cancel{3^x} \cdot 120}{\cancel{3^{x-4}} \cdot 40} \cdot 3^4 = 3^4 \cdot \frac{120}{40}$$ 9. Simplificamos la fracción $$\frac{120}{40} = 3$$: $$E = 3^4 \cdot 3 = 3^{4+1} = 3^5$$ 10. Calculamos el valor final: $$3^5 = 243$$ Respuesta final: $$E = 243$$