1. Énoncé du problème : Trouver le chiffre de rang 100 dans la séquence formée par la concaténation des carrés des entiers naturels : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ... 2. Compréhension de la séquence : La séquence est : "149162536496481100..." où chaque terme est le carré d'un entier naturel, écrit à la suite. 3. Objectif : Identifier quel chiffre occupe la position 100 dans cette chaîne. 4. Méthode : - Calculer la longueur cumulée des chiffres des carrés successifs jusqu'à dépasser ou atteindre la position 100. 5. Détail des longueurs : - Carrés de 1 à 3 (1,4,9) ont 1 chiffre chacun, total 3 chiffres. - Carrés de 4 à 9 (16,25,36,49,64,81) ont 2 chiffres chacun, total 6*2=12 chiffres. - Carrés de 10 à 31 ont 3 chiffres chacun (car 10^2=100 à 31^2=961), total (31-10+1)*3=22*3=66 chiffres. 6. Somme cumulée : - 3 (1-chiffre) + 12 (2-chiffres) + 66 (3-chiffres) = 81 chiffres jusqu'à 31^2. 7. Position 100 - 81 = 19, donc le 100ème chiffre est le 19ème chiffre dans la partie des carrés à 4 chiffres. 8. Carrés à 4 chiffres commencent à 32^2 = 1024. 9. Chaque carré a 4 chiffres, donc le 19ème chiffre correspond au terme numéro $\lceil \frac{19}{4} \rceil = 5$ dans cette partie. 10. Le 5ème carré à 4 chiffres est $(32 + 5 - 1)^2 = 36^2 = 1296$. 11. Le chiffre recherché est le $19 - (4 \times (5 - 1)) = 19 - 16 = 3$ème chiffre de 1296. 12. Les chiffres de 1296 sont : 1 (1er), 2 (2ème), 9 (3ème), 6 (4ème). 13. Donc, le chiffre de rang 100 est 9. Réponse finale : Le chiffre de rang 100 dans la séquence est **9**.