1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux circuits d'entraînement : - Circuit 1 : 5 exercices, chaque exercice dure 40 secondes suivi de 16 secondes de repos. - Circuit 2 : 10 exercices, chaque exercice dure 30 secondes suivi de 5 secondes de repos. Nous devons : 1. Montrer que le circuit 1 dure 280 secondes et le circuit 2 dure 350 secondes. 2. Donner la décomposition en facteurs premiers de 280 et 350. 3. a) Expliquer pourquoi après 2800 secondes Camille est de nouveau au départ du circuit 1 et où se trouve Dominique. b) Trouver le temps après lequel Camille et Dominique se retrouvent ensemble au départ de leur circuit, en minutes et secondes. --- 2. **Calcul de la durée totale de chaque circuit :** - Pour le circuit 1 : Chaque exercice dure 40 secondes + 16 secondes de repos = 56 secondes par exercice. Il y a 5 exercices donc : $$5 \times 56 = 280$$ secondes. - Pour le circuit 2 : Chaque exercice dure 30 secondes + 5 secondes de repos = 35 secondes par exercice. Il y a 10 exercices donc : $$10 \times 35 = 350$$ secondes. --- 3. **Décomposition en facteurs premiers :** - Pour 280 : $$280 = 2 \times 140 = 2 \times 2 \times 70 = 2^3 \times 35 = 2^3 \times 5 \times 7$$ - Pour 350 : $$350 = 2 \times 175 = 2 \times 5 \times 35 = 2 \times 5^2 \times 7$$ --- 4. **Analyse temporelle :** **a. Pourquoi Camille est au départ après 2800 secondes ?** Le circuit 1 dure 280 secondes. Après 2800 secondes : $$\frac{2800}{280} = 10$$ cycles complets. Donc Camille a terminé 10 fois le circuit et est de nouveau au départ. **Où est Dominique ?** Dominique fait un circuit de 350 secondes. Calculons le reste de la division de 2800 par 350 : $$2800 \div 350 = 8$$ avec un reste de $$2800 - 8 \times 350 = 2800 - 2800 = 0$$ Donc Dominique a aussi terminé 8 cycles complets et est aussi au départ du circuit 2. --- **b. Temps pour se retrouver ensemble au départ :** Ils se retrouvent ensemble au départ au moment du plus petit commun multiple (PPCM) de 280 et 350. Calculons le PPCM : - Décomposition de 280 : $2^3 \times 5 \times 7$ - Décomposition de 350 : $2 \times 5^2 \times 7$ Le PPCM prend les facteurs premiers avec leur plus grande puissance : $$PPCM = 2^3 \times 5^2 \times 7 = 8 \times 25 \times 7 = 1400$$ Donc ils se retrouvent ensemble au départ tous les 1400 secondes. Convertissons 1400 secondes en minutes et secondes : $$1400 \div 60 = 23$$ minutes et $$1400 - 23 \times 60 = 20$$ secondes. Donc, ils se retrouvent ensemble au départ après 23 minutes et 20 secondes. --- **Réponses finales :** - Circuit 1 dure 280 secondes. - Circuit 2 dure 350 secondes. - Décomposition en facteurs premiers : - $280 = 2^3 \times 5 \times 7$ - $350 = 2 \times 5^2 \times 7$ - Après 2800 secondes, Camille et Dominique sont tous deux au départ de leur circuit. - Ils se retrouvent ensemble au départ tous les 1400 secondes, soit 23 minutes et 20 secondes.