1. Convertir ou effectuer les opérations suivantes : a) Convertir $(1B6)_{16}$ en base 4. - Étape 1 : Convertir l'hexadécimal en binaire. $$1 = 0001,\quad B = 1011,\quad 6 = 0110$$ Donc, $(1B6)_{16} = 0001\,1011\,0110_2$ - Étape 2 : Regrouper les bits par 2 (car base 4 = $2^2$) de droite à gauche : $$00\,01\,10\,11\,01\,10$$ - Étape 3 : Convertir chaque groupe en base 4 : $$00_2=0,\quad 01_2=1,\quad 10_2=2,\quad 11_2=3$$ Donc, $(1B6)_{16} = (012312)_4$ b) Calculer $(543)_7 - (446)_7$ en base 7. - Étape 1 : Convertir en décimal : $$543_7 = 5\times7^2 + 4\times7 + 3 = 5\times49 + 28 + 3 = 245 + 28 + 3 = 276$$ $$446_7 = 4\times49 + 4\times7 + 6 = 196 + 28 + 6 = 230$$ - Étape 2 : Soustraire en décimal : $$276 - 230 = 46$$ - Étape 3 : Convertir $46$ en base 7 : $$46 \div 7 = 6 \text{ reste } 4$$ $$6 \div 7 = 0 \text{ reste } 6$$ Donc, $46_{10} = (64)_7$ c) Additionner $(3B5)_{16} + (C9E)_{16}$. - Étape 1 : Convertir en décimal : $$3B5_{16} = 3\times256 + 11\times16 + 5 = 768 + 176 + 5 = 949$$ $$C9E_{16} = 12\times256 + 9\times16 + 14 = 3072 + 144 + 14 = 3230$$ - Étape 2 : Additionner : $$949 + 3230 = 4179$$ - Étape 3 : Convertir $4179$ en hexadécimal : $$4179 \div 16 = 261 \text{ reste } 3$$ $$261 \div 16 = 16 \text{ reste } 5$$ $$16 \div 16 = 1 \text{ reste } 0$$ $$1 \div 16 = 0 \text{ reste } 1$$ Donc, $4179_{10} = (1053)_{16}$ d) Convertir $(1110011)_{Gray}$ en binaire. - Étape 1 : Le premier bit binaire est le même que le premier bit Gray : $b_1 = g_1 = 1$ - Étape 2 : Chaque bit binaire suivant est obtenu par $b_i = b_{i-1} \oplus g_i$ Calcul : $$b_2 = 1 \oplus 1 = 0$$ $$b_3 = 0 \oplus 1 = 1$$ $$b_4 = 1 \oplus 0 = 1$$ $$b_5 = 1 \oplus 0 = 1$$ $$b_6 = 1 \oplus 1 = 0$$ $$b_7 = 0 \oplus 1 = 1$$ Donc, le binaire est $(1011101)_2$ e) Convertir $(1011010.0101)_2$ en base 8. - Étape 1 : Séparer partie entière et partie fractionnaire. - Étape 2 : Regrouper les bits par 3 à partir du point décimal. Partie entière : $1 011 010$ Partie fractionnaire : $010 100$ - Étape 3 : Convertir chaque groupe en base 8 : $$1_2=1,\quad 011_2=3,\quad 010_2=2$$ $$010_2=2,\quad 100_2=4$$ Donc, $(1011010.0101)_2 = (132.24)_8$ f) Additionner $(001101000110)_{BCD} + (001000111000)_{BCD}$. - Étape 1 : Convertir chaque BCD en décimal : $$0011 0100 0110 = 3 4 6 = 346$$ $$0010 0011 1000 = 2 3 8 = 238$$ - Étape 2 : Additionner : $$346 + 238 = 584$$ - Étape 3 : Convertir $584$ en BCD : $$5 = 0101,\quad 8 = 1000,\quad 4 = 0100$$ Donc, $584_{10} = 0101 1000 0100_{BCD}$