1. **Énoncé du problème 1** : Trouver tous les couples d'entiers relatifs $(x,y)$ tels que $$18x + 7y = 12.$$ 2. **Formule et règles importantes** : Cette équation est une équation diophantienne linéaire de la forme $ax + by = c$. - Une solution existe si et seulement si $\gcd(a,b)$ divise $c$. - Les solutions générales s'expriment à partir d'une solution particulière $(x_0,y_0)$ et du paramètre $t \in \mathbb{Z}$ : $$x = x_0 + \frac{b}{d}t, \quad y = y_0 - \frac{a}{d}t,$$ où $d = \gcd(a,b)$. 3. **Calcul du PGCD de 18 et 7** : $$\gcd(18,7) = 1$$ car 7 est premier et ne divise pas 18. 4. **Vérification de la divisibilité** : Puisque $1 | 12$, il existe des solutions. 5. **Trouver une solution particulière** : On cherche $(x_0,y_0)$ tels que $18x_0 + 7y_0 = 12$. Par essais, on peut écrire $18x_0 = 12 - 7y_0$. Par exemple, si $y_0 = 6$, alors $18x_0 = 12 - 42 = -30$, donc $x_0 = -\frac{30}{18} = -\frac{5}{3}$ (pas entier). Essayons $y_0 = 0$, alors $18x_0 = 12$, $x_0 = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ (pas entier). Essayons $y_0 = 3$, alors $18x_0 = 12 - 21 = -9$, $x_0 = -\frac{9}{18} = -\frac{1}{2}$ (pas entier). Essayons $y_0 = -6$, alors $18x_0 = 12 + 42 = 54$, $x_0 = 3$ (entier). Donc une solution particulière est $(x_0,y_0) = (3,-6)$. 6. **Solutions générales** : $$x = 3 + 7t, \quad y = -6 - 18t, \quad t \in \mathbb{Z}.$$ --- 1. **Énoncé du problème 2** : Soit $n \in \mathbb{Z}$, $a = 2n + 3$, $b = 5n - 2$. Trouver $\gcd(a,b)$ en fonction de $n$. 2. **Calcul du PGCD** : $$\gcd(a,b) = \gcd(2n+3, 5n-2).$$ 3. **Utilisation de la propriété du PGCD** : $$\gcd(a,b) = \gcd(a, b - 2a) = \gcd(2n+3, (5n-2) - 2(2n+3)) = \gcd(2n+3, 5n-2 - 4n - 6) = \gcd(2n+3, n - 8).$$ 4. **Répéter la propriété** : $$\gcd(2n+3, n-8) = \gcd(n-8, (2n+3) - 2(n-8)) = \gcd(n-8, 2n+3 - 2n + 16) = \gcd(n-8, 19).$$ 5. **Conclusion** : $$\gcd(a,b) = \gcd(n-8, 19).$$ --- 1. **Énoncé du problème 3a** : Montrer l'équivalence $$(\exists u,v \in \mathbb{Z}, au + bv = d) \iff \gcd(a,b) | d.$$ 2. **Preuve** : - Si $\exists u,v$ tels que $au + bv = d$, alors $d$ est une combinaison linéaire de $a$ et $b$, donc divisible par $\gcd(a,b)$. - Réciproquement, si $\gcd(a,b) | d$, alors $d = k \cdot \gcd(a,b)$ pour un certain $k \in \mathbb{Z}$. - Comme $\gcd(a,b)$ est combinaison linéaire de $a$ et $b$, il existe $u_0,v_0$ tels que $a u_0 + b v_0 = \gcd(a,b)$. - Multiplier par $k$ donne $a(k u_0) + b(k v_0) = d$, donc la condition est satisfaite. --- 1. **Énoncé du problème 3b** : Montrer que $$\gcd(ca, cb) = |c| \cdot \gcd(a,b).$$ 2. **Preuve** : - Tout diviseur commun de $ca$ et $cb$ divise $c$ et $a$, $b$. - Donc $\gcd(ca, cb)$ est $|c|$ fois le PGCD de $a$ et $b$. --- 1. **Énoncé du problème 3c** : Prouver que si $\gcd(a,b) = 1$ et $c | a$, alors $\gcd(c,b) = 1$. 2. **Preuve** : - Supposons $d = \gcd(c,b)$. - Comme $c | a$, $d$ divise $a$ et $b$. - Donc $d$ divise $\gcd(a,b) = 1$. - Ainsi $d = 1$, donc $\gcd(c,b) = 1$. **Réponse finale :** 1. Solutions de $(E)$ : $$\boxed{(x,y) = (3 + 7t, -6 - 18t), \quad t \in \mathbb{Z}}.$$ 2. $$\boxed{\gcd(2n+3, 5n-2) = \gcd(n-8, 19)}.$$ 3a. $$\boxed{(\exists u,v \in \mathbb{Z}, au + bv = d) \iff \gcd(a,b) | d}.$$ 3b. $$\boxed{\gcd(ca, cb) = |c| \cdot \gcd(a,b)}.$$ 3c. $$\boxed{\text{Si } \gcd(a,b) = 1 \text{ et } c|a, \text{ alors } \gcd(c,b) = 1}.$$