1. **Énoncé du problème** : Abega a ramassé 32,340 œufs de canard et 6,930 œufs de poule. Il veut constituer des alvéoles identiques contenant le même nombre d'œufs de canard et le même nombre d'œufs de poule, en utilisant tous les œufs. Chaque œuf de poule se vend à 100f et chaque œuf de canard à 125f. Nous devons déterminer combien d'œufs chaque alvéole contient, combien d'alvéoles il y a, et le prix de vente total. 2. **Trouver le nombre maximal d'œufs par alvéole** : On cherche le plus grand diviseur commun (PGCD) de 32,340 et 6,930 pour que chaque alvéole ait le même nombre d'œufs de canard et de poule. 3. **Calcul du PGCD de 32,340 et 6,930** : Utilisons l'algorithme d'Euclide : $$\text{PGCD}(32340, 6930) = \text{PGCD}(6930, 32340 \bmod 6930)$$ Calculons le reste : $$32340 \div 6930 = 4 \text{ (quotient)}$$ $$32340 - 4 \times 6930 = 32340 - 27720 = 4620$$ Donc : $$\text{PGCD}(32340, 6930) = \text{PGCD}(6930, 4620)$$ 4. Continuons : $$6930 \div 4620 = 1$$ $$6930 - 1 \times 4620 = 2310$$ Donc : $$\text{PGCD}(6930, 4620) = \text{PGCD}(4620, 2310)$$ 5. Continuons : $$4620 \div 2310 = 2$$ $$4620 - 2 \times 2310 = 0$$ Donc : $$\text{PGCD}(4620, 2310) = 2310$$ 6. **Conclusion** : Le PGCD est 2310. Chaque alvéole contient donc 2310 œufs de canard et 2310 œufs de poule. 7. **Nombre d'alvéoles** : Nombre d'alvéoles = $$\frac{32340}{2310} = 14$$ 8. **Nombre d'œufs de poule par alvéole** : $$\frac{6930}{14} = 495$$ 9. **Vérification** : Chaque alvéole contient 2310 œufs de canard et 495 œufs de poule. 10. **Calcul du prix de vente d'une alvéole** : Prix par alvéole = (nombre œufs canard) $\times$ 125 + (nombre œufs poule) $\times$ 100 $$= 2310 \times 125 + 495 \times 100 = 288750 + 49500 = 338250$$ 11. **Prix total de vente** : Prix total = nombre d'alvéoles $\times$ prix par alvéole $$= 14 \times 338250 = 4735500$$ **Réponse finale** : - Chaque alvéole contient 2310 œufs de canard et 495 œufs de poule. - Il y a 14 alvéoles. - Le prix de vente total est 4735500.