1. Énonçons le problème : Calculer le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) et le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de $a=40$ et $b=105$. 2. Rappel des formules importantes : - Le PGCD de deux nombres est le plus grand nombre qui divise les deux sans reste. - Le PPCM de deux nombres est le plus petit nombre divisible par les deux. - Relation clé : $$\text{PPCM}(a,b) \times \text{PGCD}(a,b) = a \times b$$ 3. Calcul du PGCD par la méthode d'Euclide : - $105 \div 40 = 2$ reste $25$ - $40 \div 25 = 1$ reste $15$ - $25 \div 15 = 1$ reste $10$ - $15 \div 10 = 1$ reste $5$ - $10 \div 5 = 2$ reste $0$ Le PGCD est le dernier reste non nul, donc $\text{PGCD}(40,105) = 5$. 4. Calcul du PPCM en utilisant la relation : $$\text{PPCM}(40,105) = \frac{40 \times 105}{5} = \frac{4200}{5} = 840$$ 5. Résumé : - $\boxed{\text{PGCD}(40,105) = 5}$ - $\boxed{\text{PPCM}(40,105) = 840}$