1. Énoncé du problème : Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs non nuls. 2. Montrer que $\gcd(ac, bc) = |c| \times \gcd(a, b)$. - Rappel : Le plus grand commun diviseur (pgcd) de deux entiers $x$ et $y$, noté $\gcd(x,y)$, est le plus grand entier qui divise à la fois $x$ et $y$. 3. Preuve : - Puisque $c$ divise à la fois $ac$ et $bc$, on peut écrire $ac = c \times a$ et $bc = c \times b$. - Tout diviseur commun de $ac$ et $bc$ doit diviser $c$ et aussi diviser $a$ et $b$. - Donc, $\gcd(ac, bc) = |c| \times \gcd(a, b)$. 4. Montrer que si $\gcd(a,b) = 1$ et $c$ divise $a$, alors $\gcd(a,c) = 1$. - Puisque $c$ divise $a$, on peut écrire $a = c \times k$ pour un certain entier $k$. - Comme $\gcd(a,b) = 1$, $a$ et $b$ sont premiers entre eux. - Si $d$ divise à la fois $a$ et $c$, alors $d$ divise $a$ et $c$, donc $d$ divise $a$ et $b$ (car $c$ divise $a$). - Mais $\gcd(a,b) = 1$, donc $d=1$. - Ainsi, $\gcd(a,c) = 1$. 5. Montrer que si $\gcd(a,b) = 1$, alors $\gcd(a, bc) = \gcd(a,b) \times \gcd(a,c)$. - Comme $\gcd(a,b) = 1$, on a $\gcd(a, bc) = \gcd(a,c)$ car $a$ et $b$ sont premiers entre eux. - Donc, $\gcd(a, bc) = 1 \times \gcd(a,c) = \gcd(a,b) \times \gcd(a,c)$. Réponses finales : $$\gcd(ac, bc) = |c| \times \gcd(a, b)$$ $$\text{Si } \gcd(a,b) = 1 \text{ et } c|a, \text{ alors } \gcd(a,c) = 1$$ $$\text{Si } \gcd(a,b) = 1, \text{ alors } \gcd(a, bc) = \gcd(a,b) \times \gcd(a,c)$$