1. Énoncé du problème : Un homme peut peindre $\frac{1}{6}$ d'une pièce en une heure, sa collègue peut peindre $\frac{1}{4}$ de la même pièce en une heure. Nous devons trouver combien de minutes ils prendront pour peindre la pièce ensemble. 2. Formule utilisée : Lorsque deux personnes travaillent ensemble, leurs vitesses s'additionnent. La vitesse combinée est donc la somme des fractions de la pièce peintes par heure. 3. Calcul de la vitesse combinée : $$\text{vitesse totale} = \frac{1}{6} + \frac{1}{4}$$ 4. Trouvons un dénominateur commun pour additionner : $$\frac{1}{6} = \frac{2}{12}, \quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$ 5. Addition : $$\frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$ 6. La vitesse combinée est donc $\frac{5}{12}$ de la pièce par heure. 7. Pour trouver le temps total $t$ en heures pour peindre la pièce entière, on utilise : $$\text{vitesse} \times t = 1 \Rightarrow \frac{5}{12} \times t = 1$$ 8. Résolvons pour $t$ : $$t = \frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{1}{1} \times \frac{12}{5} = \frac{12}{5}$$ 9. Simplifions en utilisant la barre de simplification : $$t = \frac{\cancel{12}}{\cancel{5}} = \frac{12}{5}$$ (pas de simplification possible ici) 10. Convertissons $t$ en minutes : $$t = \frac{12}{5} \text{ heures} = \frac{12}{5} \times 60 = 144 \text{ minutes}$$ 11. Conclusion : En travaillant ensemble, ils prendront 144 minutes pour peindre la pièce.