1. Resolver la expresión a) $2 \frac{2}{5} - \left[2 + \left(\frac{1}{5} - \frac{3}{4}\right)\right]$. 2. Convertir los números mixtos a fracciones impropias y resolver paso a paso. 3. Para b) $3 \frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 4 - \frac{3}{2}$, convertir y operar. 4. Expresar como fracciones y resolver a) $\frac{2}{3} = 0,2 + 4,7 - \frac{6}{9}$. 5. Para b) $\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + 1}}$, simplificar la expresión. 6. Convertir cada decimal en fracción y calcular $M = \sqrt{0,1 + 0,2 + 0,3 + \ldots + 0,8}$. 7. Resolver el problema del llenado de la piscina con dos caños y un desagüe. 8. Resolver el problema del préstamo de Fabiola y calcular el monto total. 9. Calcular la fracción del día que Fernanda dedica a jugar. --- **Paso 1: Resolver 1.a** $2 \frac{2}{5} = \frac{12}{5}$. Dentro del corchete: $\frac{1}{5} - \frac{3}{4} = \frac{4}{20} - \frac{15}{20} = -\frac{11}{20}$. Entonces: $2 + \left(-\frac{11}{20}\right) = \frac{40}{20} - \frac{11}{20} = \frac{29}{20}$. La expresión completa: $\frac{12}{5} - \frac{29}{20}$. Convertimos $\frac{12}{5} = \frac{48}{20}$. $\frac{48}{20} - \frac{29}{20} = \frac{19}{20}$. **Respuesta 1.a:** $\frac{19}{20}$. **Paso 2: Resolver 1.b** $3 \frac{1}{5} = \frac{16}{5}$. La expresión: $\frac{16}{5} - \frac{2}{5} + 4 - \frac{3}{2}$. Sumamos fracciones con denominador común 10: $\frac{16}{5} - \frac{2}{5} = \frac{14}{5} = \frac{28}{10}$. $4 = \frac{40}{10}$. $\frac{3}{2} = \frac{15}{10}$. Entonces: $\frac{28}{10} + \frac{40}{10} - \frac{15}{10} = \frac{28 + 40 - 15}{10} = \frac{53}{10} = 5 \frac{3}{10}$. **Respuesta 1.b:** $5 \frac{3}{10}$. **Paso 3: Resolver 2.a** Convertir decimales a fracciones: $0,2 = \frac{1}{5}$, $4,7 = 4 + \frac{7}{10} = \frac{47}{10}$. $\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$, $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. La ecuación: $\frac{2}{3} = \frac{1}{5} + \frac{47}{10} - \frac{2}{3}$. Sumamos $\frac{1}{5} + \frac{47}{10} = \frac{2}{10} + \frac{47}{10} = \frac{49}{10}$. Entonces: $\frac{2}{3} = \frac{49}{10} - \frac{2}{3}$. Sumamos $\frac{49}{10} - \frac{2}{3} = \frac{147}{30} - \frac{20}{30} = \frac{127}{30}$. Pero la igualdad no se cumple, por lo que interpretamos que la expresión es para calcular $\frac{1}{5} + 4,7 - \frac{6}{9}$ y comparar con $\frac{2}{3}$. **Respuesta 2.a:** $\frac{1}{5} + \frac{47}{10} - \frac{2}{3} = \frac{127}{30} \approx 4.23$. **Paso 4: Resolver 2.b** La expresión es: $\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + 1}}$. Simplificamos el denominador interno: $1 + 1 = 2$. Entonces: $\frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{1 + 0.5} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$. **Respuesta 2.b:** $\frac{2}{3}$. **Paso 5: Resolver 3** Convertir decimales a fracciones: $0,1 = \frac{1}{10}$, $0,2 = \frac{2}{10}$, $0,3 = \frac{3}{10}$, ..., $0,8 = \frac{8}{10}$. Sumamos: $\sum_{k=1}^8 \frac{k}{10} = \frac{1+2+3+4+5+6+7+8}{10} = \frac{36}{10} = \frac{18}{5}$. Entonces: $M = \sqrt{\frac{18}{5}} = \sqrt{\frac{18}{5}} = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$. Racionalizamos: $M = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{10}}{5}$. **Respuesta 3:** $\frac{3\sqrt{10}}{5}$. **Paso 6: Resolver 4** Caño 1 llena en 10 horas: tasa $= \frac{1}{10}$ piscina/hora. Caño 2 llena en 6 horas: tasa $= \frac{1}{6}$ piscina/hora. Desagüe vacía en 15 horas: tasa $= -\frac{1}{15}$ piscina/hora. Tasa neta: $\frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{5}{30} - \frac{2}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$. Tiempo para llenar: $\frac{1}{\frac{1}{5}} = 5$ horas. **Respuesta 4:** 5 horas. **Paso 7: Resolver 5** Sea $P$ el monto del préstamo. Manzanas: $\frac{7}{10}P$. Resto: $P - \frac{7}{10}P = \frac{3}{10}P$. Otras frutas: $\frac{5}{6} \times \frac{3}{10}P = \frac{5}{6} \times \frac{3}{10}P = \frac{1}{4}P$. Sobrante: $P - \frac{7}{10}P - \frac{1}{4}P = 22$. Sumamos gastos: $\frac{7}{10}P + \frac{1}{4}P = \frac{14}{20}P + \frac{5}{20}P = \frac{19}{20}P$. Entonces: $P - \frac{19}{20}P = 22$. $\frac{1}{20}P = 22$. $P = 22 \times 20 = 440$. **Respuesta 5:** 440. **Paso 8: Resolver 6** Dormir: $\frac{1}{3}$. Estudiar: $\frac{2}{5}$. Labores: $\frac{1}{30}$. Sumamos: $\frac{1}{3} + \frac{2}{5} + \frac{1}{30} = \frac{10}{30} + \frac{12}{30} + \frac{1}{30} = \frac{23}{30}$. Resto para jugar: $1 - \frac{23}{30} = \frac{7}{30}$. **Respuesta 6:** $\frac{7}{30}$. --- **Resumen:** 1.a) $\frac{19}{20}$ 1.b) $5 \frac{3}{10}$ 2.a) $\frac{127}{30}$ 2.b) $\frac{2}{3}$ 3) $\frac{3\sqrt{10}}{5}$ 4) 5 horas 5) 440 6) $\frac{7}{30}$