1. Planteamos el problema: Tenemos dos números $a$ y $b$ tales que su producto es $a \times b = 3500$ y la suma de su MCD y MCM es $\text{MCD}(a,b) + \text{MCM}(a,b) = 360$. 2. Recordemos la relación importante entre dos números, su MCD y MCM: $$a \times b = \text{MCD}(a,b) \times \text{MCM}(a,b)$$ 3. Sea $d = \text{MCD}(a,b)$. Entonces podemos escribir $a = d m$ y $b = d n$ donde $m$ y $n$ son coprimos (su MCD es 1). 4. Usando la relación del producto: $$a \times b = d m \times d n = d^2 m n = 3500$$ 5. La MCM es: $$\text{MCM}(a,b) = d m n$$ 6. La suma dada es: $$d + d m n = d (1 + m n) = 360$$ 7. De la ecuación del producto: $$d^2 m n = 3500$$ 8. De la suma: $$d (1 + m n) = 360$$ 9. Sea $x = m n$, entonces: $$d^2 x = 3500$$ $$d (1 + x) = 360$$ 10. De la segunda ecuación despejamos $d$: $$d = \frac{360}{1 + x}$$ 11. Sustituimos en la primera: $$\left(\frac{360}{1 + x}\right)^2 x = 3500$$ 12. Simplificamos: $$\frac{360^2 x}{(1 + x)^2} = 3500$$ 13. Multiplicamos ambos lados por $(1 + x)^2$: $$360^2 x = 3500 (1 + x)^2$$ 14. Expandimos el cuadrado: $$360^2 x = 3500 (1 + 2x + x^2)$$ 15. Llevamos todo a un lado: $$3500 x^2 + 7000 x + 3500 - 360^2 x = 0$$ 16. Calculamos $360^2 = 129600$: $$3500 x^2 + 7000 x + 3500 - 129600 x = 0$$ 17. Simplificamos términos en $x$: $$3500 x^2 + (7000 - 129600) x + 3500 = 0$$ $$3500 x^2 - 122600 x + 3500 = 0$$ 18. Dividimos toda la ecuación por 100 para simplificar: $$35 x^2 - 1226 x + 35 = 0$$ 19. Usamos la fórmula cuadrática para $x$: $$x = \frac{1226 \pm \sqrt{1226^2 - 4 \times 35 \times 35}}{2 \times 35}$$ 20. Calculamos el discriminante: $$1226^2 = 1503076$$ $$4 \times 35 \times 35 = 4900$$ $$\sqrt{1503076 - 4900} = \sqrt{1498176} = 1224$$ 21. Entonces: $$x = \frac{1226 \pm 1224}{70}$$ 22. Dos soluciones: - $$x_1 = \frac{1226 + 1224}{70} = \frac{2450}{70} = 35$$ - $$x_2 = \frac{1226 - 1224}{70} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}$$ 23. Recordemos que $x = m n$ y $m,n$ son enteros positivos coprimos, por lo que $x$ debe ser entero. Elegimos $x = 35$. 24. Calculamos $d$: $$d = \frac{360}{1 + 35} = \frac{360}{36} = 10$$ 25. Entonces: $$a = d m, \quad b = d n, \quad m n = 35$$ 26. Los factores coprimos de 35 son 1 y 35 o 5 y 7. 27. Probamos con $m=5$, $n=7$: $$a = 10 \times 5 = 50$$ $$b = 10 \times 7 = 70$$ 28. Verificamos el producto: $$50 \times 70 = 3500$$ 29. Verificamos la suma de MCD y MCM: $$\text{MCD}(50,70) = 10$$ $$\text{MCM}(50,70) = \frac{50 \times 70}{10} = 350$$ $$10 + 350 = 360$$ 30. Por lo tanto, uno de los números es $\boxed{50}$ (el otro es 70).