1. El problema nos da una lista de números expresados en diferentes sistemas de numeración con distintas bases: 10000, 121, 100, ?, 24, 22, 20. 2. Nos piden encontrar el número natural que todos representan y determinar el número que falta (?). 3. Para resolverlo, debemos convertir cada número a base 10 y ver cuál es el número natural común. 4. Empecemos con los números dados y supongamos que las bases son consecutivas o lógicas para que el mismo número natural se represente en cada base. 5. Convertimos cada número a base 10: - Para 10000 en base $b$: $$1 \times b^4 + 0 \times b^3 + 0 \times b^2 + 0 \times b + 0 = b^4$$ - Para 121 en base $b$: $$1 \times b^2 + 2 \times b + 1 = b^2 + 2b + 1$$ - Para 100 en base $b$: $$1 \times b^2 + 0 \times b + 0 = b^2$$ - Para 24 en base $b$: $$2 \times b + 4$$ - Para 22 en base $b$: $$2 \times b + 2$$ - Para 20 en base $b$: $$2 \times b + 0 = 2b$$ 6. Observamos que 10000, 121, 100, ?, 24, 22, 20 están en diferentes bases. Probemos con bases 5, 4, 3, 2, etc., para encontrar un número natural común. 7. Probemos con base 5 para 10000: $$10000_5 = 5^4 = 625$$ 8. Probemos 121 en base 8: $$1 \times 8^2 + 2 \times 8 + 1 = 64 + 16 + 1 = 81$$ No coincide con 625, intentemos otra base. 9. Probemos 121 en base 4: $$1 \times 4^2 + 2 \times 4 + 1 = 16 + 8 + 1 = 25$$ 10. Probemos 100 en base 5: $$1 \times 5^2 = 25$$ Coincide con 25. 11. Probemos 24 en base 5: $$2 \times 5 + 4 = 10 + 4 = 14$$ No coincide con 25. 12. Probemos 24 en base 7: $$2 \times 7 + 4 = 14 + 4 = 18$$ No coincide. 13. Probemos 24 en base 6: $$2 \times 6 + 4 = 12 + 4 = 16$$ No coincide. 14. Probemos 24 en base 5: $$2 \times 5 + 4 = 14$$ No coincide. 15. Probemos 24 en base 3: $$2 \times 3 + 4$$ No es posible porque 4 no es dígito válido en base 3. 16. Probemos 24 en base 8: $$2 \times 8 + 4 = 20$$ No coincide. 17. Probemos 22 en base 5: $$2 \times 5 + 2 = 12$$ No coincide. 18. Probemos 22 en base 4: $$2 \times 4 + 2 = 10$$ No coincide. 19. Probemos 20 en base 5: $$2 \times 5 = 10$$ No coincide. 20. Probemos 20 en base 10: $$2 \times 10 = 20$$ No coincide. 21. Observamos que 121 y 100 en base 5 dan 25, por lo que el número natural es 25. 22. Entonces, el número que falta (?) debe ser 100 en base 5, que es 25 en decimal. 23. Por lo tanto, el número natural es 25 y el número que falta es 100 en base 5. Respuesta final: El número natural es 25 y el número que falta es 100 en base 5.