1. **Problemstellung:** Gegeben ist das dritte Keplersche Gesetz: $$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$$ Wir sollen a) die große Halbachse der Venusumlaufbahn $r_2$ bestimmen und b) die Umlaufzeit des Mars $T_2$ berechnen. 2. **Formel und Regeln:** Das dritte Keplersche Gesetz besagt, dass das Verhältnis der Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten gleich dem Verhältnis der dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Umlaufbahnen ist. 3. **Teil a) Länge der großen Halbachse der Venusumlaufbahn:** Gegeben: - $T_1 = 365{,}26$ Tage (Erde) - $T_2 = 224{,}7$ Tage (Venus) - $r_1 = 1{,}496 \times 10^8$ km (Erde) Gesucht: $r_2$ Formel umstellen nach $r_2$: $$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} \Rightarrow r_2^3 = r_1^3 \cdot \frac{T_2^2}{T_1^2}$$ Zwischenschritt mit Kürzen: $$r_2^3 = r_1^3 \cdot \frac{\cancel{T_2^2}}{\cancel{T_1^2}}$$ Berechnung: $$r_2 = \sqrt[3]{r_1^3 \cdot \frac{T_2^2}{T_1^2}} = r_1 \cdot \sqrt[3]{\frac{T_2^2}{T_1^2}}$$ Einsetzen der Werte: $$r_2 = 1{,}496 \times 10^8 \cdot \sqrt[3]{\frac{224{,}7^2}{365{,}26^2}}$$ Berechnung der Brüche: $$\frac{224{,}7^2}{365{,}26^2} = \left(\frac{224{,}7}{365{,}26}\right)^2 \approx (0{,}615)^2 = 0{,}378$$ Dann: $$r_2 = 1{,}496 \times 10^8 \cdot \sqrt[3]{0{,}378}$$ Kubikwurzel von 0,378: $$\sqrt[3]{0{,}378} \approx 0{,}72$$ Endergebnis: $$r_2 \approx 1{,}496 \times 10^8 \times 0{,}72 = 1{,}08 \times 10^8 \text{ km}$$ 4. **Teil b) Umlaufzeit des Mars:** Gegeben: - $r_1 = 1{,}496 \times 10^8$ km (Erde) - $T_1 = 365{,}26$ Tage (Erde) - $r_2 = 2{,}279 \times 10^8$ km (Mars) Gesucht: $T_2$ Formel umstellen nach $T_2$: $$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} \Rightarrow T_2^2 = T_1^2 \cdot \frac{r_2^3}{r_1^3}$$ Zwischenschritt mit Kürzen: $$T_2^2 = T_1^2 \cdot \frac{\cancel{r_2^3}}{\cancel{r_1^3}}$$ Berechnung: $$T_2 = T_1 \cdot \sqrt{\frac{r_2^3}{r_1^3}} = T_1 \cdot \sqrt{\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3} = T_1 \cdot \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{3/2}$$ Einsetzen der Werte: $$T_2 = 365{,}26 \cdot \left(\frac{2{,}279 \times 10^8}{1{,}496 \times 10^8}\right)^{3/2} = 365{,}26 \cdot \left(1{,}523\right)^{3/2}$$ Berechnung der Potenz: $$1{,}523^{3/2} = (1{,}523^{1/2})^3 = (\sqrt{1{,}523})^3 \approx (1{,}234)^3 = 1{,}879$$ Endergebnis: $$T_2 = 365{,}26 \times 1{,}879 \approx 686{,}3 \text{ Tage}$$ **Antworten:** - a) Die große Halbachse der Venusumlaufbahn beträgt ungefähr $$1{,}08 \times 10^8$$ km. - b) Die Umlaufzeit des Mars um die Sonne beträgt ungefähr $$686{,}3$$ Tage.