1. **Problem statement:** Die Anzahl von Milchsäurebakterien verdoppelt sich bei 37°C etwa alle 30 Minuten. Anfangs sind 100 Bakterien vorhanden. Wir sollen das Wachstum durch eine Exponentialfunktion beschreiben. 2. **Formel und Regeln:** Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion ist $$f(x) = c \cdot a^x$$ - $c$ ist der Anfangsbestand (hier 100) - $a$ ist der Wachstumsfaktor pro Zeiteinheit - $x$ ist die Zeit in Minuten 3. **Wachstumsfaktor $a$ bestimmen:** Gegeben: Nach 30 Minuten verdoppelt sich die Anzahl, also $$f(30) = 2 \cdot 100 = 200$$ Setze in die Funktion ein: $$200 = 100 \cdot a^{30}$$ Teile beide Seiten durch 100: $$\frac{200}{100} = \cancel{100} \cdot a^{30} / \cancel{100} \Rightarrow 2 = a^{30}$$ Um $a$ zu isolieren, ziehe die 30-te Wurzel: $$a = \sqrt[30]{2} = 2^{\frac{1}{30}}$$ 4. **Exponentialfunktion angeben:** Setze $c=100$ und $a=2^{\frac{1}{30}}$ ein: $$f(x) = 100 \cdot \left(2^{\frac{1}{30}}\right)^x = 100 \cdot 2^{\frac{x}{30}}$$ 5. **Berechnung der Bakterienanzahl nach bestimmten Zeiten:** - Nach 10 Minuten: $$f(10) = 100 \cdot 2^{\frac{10}{30}} = 100 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \approx 100 \cdot 1.26 = 126$$ - Nach 5,5 Stunden (330 Minuten): $$f(330) = 100 \cdot 2^{\frac{330}{30}} = 100 \cdot 2^{11} = 100 \cdot 2048 = 204800$$ - Nach 1 Tag (1440 Minuten): $$f(1440) = 100 \cdot 2^{\frac{1440}{30}} = 100 \cdot 2^{48} \approx 100 \cdot 2.81 \times 10^{14} = 2.81 \times 10^{16}$$ 6. **Rückrechnung des Anfangsbestands bei gegebener Anzahl um 17:00 Uhr:** Gegeben: Um 17:00 Uhr sind 20 Milliarden Bakterien = $2 \times 10^{10}$ - Zeitdifferenz zu 6:00 Uhr morgens: 11 Stunden = 660 Minuten - Zeitdifferenz zu 8:45 Uhr morgens: 8 Stunden 15 Minuten = 495 Minuten Formel umgestellt nach $c$: $$f(x) = c \cdot 2^{\frac{x}{30}} \Rightarrow c = \frac{f(x)}{2^{\frac{x}{30}}}$$ - Für 6:00 Uhr (x = -660, da früher): $$c = \frac{2 \times 10^{10}}{2^{\frac{-660}{30}}} = 2 \times 10^{10} \cdot 2^{\frac{660}{30}} = 2 \times 10^{10} \cdot 2^{22} = 2 \times 10^{10} \cdot 4,194,304 = 8.39 \times 10^{16}$$ - Für 8:45 Uhr (x = -495): $$c = 2 \times 10^{10} \cdot 2^{\frac{495}{30}} = 2 \times 10^{10} \cdot 2^{16.5} \approx 2 \times 10^{10} \cdot 926,810 = 1.85 \times 10^{16}$$ **Final answers:** - Wachstumsfaktor: $$a = 2^{\frac{1}{30}}$$ - Exponentialfunktion: $$f(x) = 100 \cdot 2^{\frac{x}{30}}$$ - Bakterien nach 10 Minuten: ca. 126 - Bakterien nach 5,5 Stunden: 204,800 - Bakterien nach 1 Tag: ca. $2.81 \times 10^{16}$ - Anfangsbestand um 6:00 Uhr: ca. $8.39 \times 10^{16}$ - Anfangsbestand um 8:45 Uhr: ca. $1.85 \times 10^{16}$