1. **Nyatakan masalah:** Diberikan fungsi boolean $$f(x,y,z) = xy'z + (z + xy')' + x$$ dan $$g(x,y,z) = x'y'z + xyz + (y'(y' + z))' + x'z$$. Kita diminta untuk: a. Bentuk Kanonik SOP dan POS fungsi $$f(x,y,z)$$ b. Bentuk sederhana fungsi $$f(x,y,z)$$ menggunakan hukum aljabar boolean dan K-Map dalam bentuk SOP dan POS c. Membuktikan dengan tabel kebenaran d. Menentukan penjumlahan fungsi $$f(x,y,z)$$ dan $$g(x,y,z)$$ 2. **Bentuk Kanonik SOP dan POS fungsi $$f(x,y,z)$$:** - Bentuk SOP (Sum of Products) adalah penjumlahan dari produk literal yang menghasilkan nilai 1. - Bentuk POS (Product of Sums) adalah perkalian dari jumlah literal yang menghasilkan nilai 0. 3. **Sederhanakan fungsi $$f(x,y,z)$$:** - Pertama, uraikan fungsi $$f$$: $$f = xy'z + (z + xy')' + x$$ - Gunakan hukum De Morgan pada $$(z + xy')'$$: $$ (z + xy')' = z' \cdot (xy')'$$ - Gunakan hukum De Morgan lagi pada $$(xy')'$$: $$ (xy')' = x' + y$$ - Jadi: $$ (z + xy')' = z' (x' + y) = z'x' + z'y$$ - Substitusi kembali: $$ f = xy'z + z'x' + z'y + x$$ 4. **Gabungkan dan sederhanakan:** - Gabungkan semua suku: $$ f = x + xy'z + z'x' + z'y $$ - Karena $$x$$ sudah ada, suku $$xy'z$$ dapat diabaikan karena $$x + xy'z = x$$ (hukum absorpsi). - Jadi: $$ f = x + z'x' + z'y $$ 5. **Bentuk Kanonik SOP:** - Buat tabel kebenaran untuk $$f$$ dan tulis minterm yang menghasilkan 1. - Tabel kebenaran (x,y,z) dan nilai $$f$$: - 000: $$x=0,y=0,z=0$$ $$f=0+1\cdot1+1\cdot0=1$$ - 001: $$0,0,1$$ $$f=0+0+0=0$$ - 010: $$0,1,0$$ $$f=0+1\cdot1+1=1$$ - 011: $$0,1,1$$ $$f=0+0+1=1$$ - 100: $$1,0,0$$ $$f=1+0+0=1$$ - 101: $$1,0,1$$ $$f=1+0+0=1$$ - 110: $$1,1,0$$ $$f=1+0+0=1$$ - 111: $$1,1,1$$ $$f=1+0+0=1$$ - Minterm yang menghasilkan 1: 000, 010, 011, 100, 101, 110, 111 - Bentuk Kanonik SOP: $$f = m_0 + m_2 + m_3 + m_4 + m_5 + m_6 + m_7$$ dengan $$m_i$$ adalah minterm ke-i. 6. **Bentuk Kanonik POS:** - Maxterm yang menghasilkan 0 adalah 001 saja. - Bentuk Kanonik POS: $$f = M_1$$ dengan $$M_1 = (x + y + z')$$ 7. **Sederhanakan dengan K-Map:** - K-Map 3 variabel: | yz\x | 0 | 1 | |------|---|---| | 00 | 1 | 1 | | 01 | 0 | 1 | | 11 | 1 | 1 | | 10 | 1 | 1 | - Kelompokkan 1: - Grup 1: Semua baris kecuali 001 - Hasil SOP sederhana: $$f = x + z'y + z'x'$$ (sama dengan hasil sebelumnya) 8. **Buktikan dengan tabel kebenaran:** - Tabel sudah dibuat di langkah 5, nilai $$f$$ sesuai dengan fungsi yang disederhanakan. 9. **Penjumlahan fungsi $$f$$ dan $$g$$:** - Fungsi $$g$$: $$g = x'y'z + xyz + (y'(y' + z))' + x'z$$ - Sederhanakan bagian $$(y'(y' + z))'$$: $$y'(y' + z) = y'$$ (karena $$y' + z$$ selalu benar jika $$y'$$ benar) Jadi: $$(y'(y' + z))' = (y')' = y$$ - Jadi $$g = x'y'z + xyz + y + x'z$$ - Karena ada $$y$$, suku $$x'y'z$$ dan $$xyz$$ dapat diabaikan (absorpsi): $$g = y + x'z$$ - Penjumlahan $$f + g$$: $$f + g = (x + z'x' + z'y) + (y + x'z)$$ - Gabungkan: $$= x + y + z'x' + z'y + x'z$$ - Karena $$y$$ sudah ada, $$z'y$$ dapat diabaikan: $$= x + y + z'x' + x'z$$ **Jawaban akhir:** - Bentuk Kanonik SOP $$f$$: $$m_0 + m_2 + m_3 + m_4 + m_5 + m_6 + m_7$$ - Bentuk Kanonik POS $$f$$: $$M_1 = (x + y + z')$$ - Bentuk sederhana $$f$$: $$x + z'x' + z'y$$ - Penjumlahan $$f + g$$: $$x + y + z'x' + x'z$$