1. Plantegem el problema: Calcular la integral doble $$\iint_{\Omega} (e^x + 1) \, dx \, dy$$ on $$\Omega = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2x + 1\}$$. 2. Com que la regió $$\Omega$$ està definida per $$x$$ entre 0 i 1 i $$y$$ entre 0 i $$2x+1$$, podem escriure la integral doble com una integral iterada: $$\int_0^1 \int_0^{2x+1} (e^x + 1) \, dy \, dx$$ 3. Observem que la funció integranda $$e^x + 1$$ no depèn de $$y$$, per tant podem integrar respecte a $$y$$ fàcilment: $$\int_0^{2x+1} (e^x + 1) \, dy = (e^x + 1) \cdot y \Big|_0^{2x+1} = (e^x + 1)(2x + 1)$$ 4. Ara la integral queda: $$\int_0^1 (e^x + 1)(2x + 1) \, dx$$ 5. Desenvolupem el producte: $$(e^x + 1)(2x + 1) = 2x e^x + e^x + 2x + 1$$ 6. La integral és: $$\int_0^1 (2x e^x + e^x + 2x + 1) \, dx = \int_0^1 2x e^x \, dx + \int_0^1 e^x \, dx + \int_0^1 2x \, dx + \int_0^1 1 \, dx$$ 7. Calculem cada integral per separat: - $$\int_0^1 2x e^x \, dx$$: fem integració per parts amb $$u=2x$$ i $$dv=e^x dx$$. \begin{align*} u &= 2x & dv &= e^x dx \\ du &= 2 dx & v &= e^x \end{align*} $$\int 2x e^x dx = 2x e^x - \int 2 e^x dx = 2x e^x - 2 e^x + C$$ Evaluem de 0 a 1: $$[2x e^x - 2 e^x]_0^1 = (2 \cdot 1 \cdot e^1 - 2 e^1) - (0 - 2 e^0) = (2e - 2e) - (0 - 2) = 0 + 2 = 2$$ - $$\int_0^1 e^x dx = e^x \Big|_0^1 = e - 1$$ - $$\int_0^1 2x dx = x^2 \Big|_0^1 = 1$$ - $$\int_0^1 1 dx = x \Big|_0^1 = 1$$ 8. Sumem tots els resultats: $$2 + (e - 1) + 1 + 1 = 2 + e - 1 + 1 + 1 = e + 3$$ 9. Per tant, el valor de la integral doble és: $$\boxed{e + 3}$$