1. El problema es resolver una integral avanzada de cálculo, por ejemplo, calcular $$\int x^3 e^{x^2} \, dx$$. 2. La fórmula que usaremos es la integración por partes: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$. 3. Elegimos $$u = x^2$$ y $$dv = x e^{x^2} dx$$ para simplificar la integral. 4. Calculamos $$du = 2x dx$$ y $$v = \frac{e^{x^2}}{2}$$ porque la derivada de $$e^{x^2}$$ es $$2x e^{x^2}$$. 5. Aplicamos la fórmula: $$\int x^3 e^{x^2} dx = \int x^2 (x e^{x^2}) dx = u v - \int v du = x^2 \cdot \frac{e^{x^2}}{2} - \int \frac{e^{x^2}}{2} \cdot 2x dx$$. 6. Simplificamos la integral restante: $$\int x e^{x^2} dx$$. 7. Usamos sustitución: sea $$t = x^2$$, entonces $$dt = 2x dx$$ o $$x dx = \frac{dt}{2}$$. 8. La integral se convierte en $$\int e^t \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int e^t dt = \frac{1}{2} e^t + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$$. 9. Sustituimos de nuevo en la expresión original: $$x^2 \cdot \frac{e^{x^2}}{2} - \frac{1}{2} e^{x^2} + C = \frac{e^{x^2}}{2} (x^2 - 1) + C$$. 10. Por lo tanto, la solución final es $$\boxed{\frac{e^{x^2}}{2} (x^2 - 1) + C}$$.