1. **Problema:** Esboçar o gráfico da função que passa pelos pontos (0,1), (2,3), (5,5) e (10,7). 2. **Esboço do gráfico:** Como temos pontos discretos, ligamos os pontos com segmentos de reta para visualizar a função. 3. **Estimativas da área sob o gráfico usando retângulos:** - Para estimativas inferior e superior, usamos somas de retângulos que aproximam a área sob a curva de $f(x)$ de $x=0$ até $x=10$. - Com 5 retângulos, cada retângulo tem largura $\Delta x = \frac{10-0}{5} = 2$. - Para a soma inferior, a altura de cada retângulo é o valor mínimo da função no intervalo do retângulo. - Para a soma superior, a altura é o valor máximo da função no intervalo. 4. **Cálculo com 5 retângulos:** - Intervalos: [0,2], [2,4], [4,6], [6,8], [8,10] - Valores conhecidos: $f(0)=1$, $f(2)=3$, $f(5)=5$, $f(10)=7$. - Estimamos $f(4)$ e $f(6)$ por interpolação linear entre pontos dados: - Entre (2,3) e (5,5): $f(4) = 3 + \frac{5-3}{5-2} \times (4-2) = 3 + \frac{2}{3} \times 2 = 3 + \frac{4}{3} = \frac{13}{3} \approx 4.33$ - Entre (5,5) e (10,7): $f(6) = 5 + \frac{7-5}{10-5} \times (6-5) = 5 + \frac{2}{5} \times 1 = 5 + 0.4 = 5.4$ - Alturas para cada intervalo: - [0,2]: $f(0)=1$, $f(2)=3$ - [2,4]: $f(2)=3$, $f(4)\approx4.33$ - [4,6]: $f(4)\approx4.33$, $f(6)=5.4$ - [6,8]: $f(6)=5.4$, estimamos $f(8)$ entre (5,5) e (10,7): $f(8) = 5 + \frac{7-5}{10-5} \times (8-5) = 5 + \frac{2}{5} \times 3 = 5 + 1.2 = 6.2$ - [8,10]: $f(8)=6.2$, $f(10)=7$ - Soma inferior (usando mínimos): $$\text{Área inferior} = 2 \times (\min(1,3) + \min(3,4.33) + \min(4.33,5.4) + \min(5.4,6.2) + \min(6.2,7))$$ $$= 2 \times (1 + 3 + 4.33 + 5.4 + 6.2) = 2 \times 19.93 = 39.86$$ - Soma superior (usando máximos): $$\text{Área superior} = 2 \times (\max(1,3) + \max(3,4.33) + \max(4.33,5.4) + \max(5.4,6.2) + \max(6.2,7))$$ $$= 2 \times (3 + 4.33 + 5.4 + 6.2 + 7) = 2 \times 25.93 = 51.86$$ 5. **Estimativas com 10 retângulos:** - Agora $\Delta x = \frac{10}{10} = 1$. - Calculamos $f(x)$ para $x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ por interpolação linear entre pontos dados. - Por exemplo, entre (0,1) e (2,3): $f(1) = 1 + \frac{3-1}{2-0} \times (1-0) = 1 + 1 = 2$ - Entre (2,3) e (5,5): $f(3) = 3 + \frac{5-3}{5-2} \times (3-2) = 3 + \frac{2}{3} = 3.67$ $f(4) = 3 + \frac{2}{3} \times 2 = 4.33$ - Entre (5,5) e (10,7): $f(6) = 5 + \frac{2}{5} \times 1 = 5.4$ $f(7) = 5 + \frac{2}{5} \times 2 = 5.8$ $f(8) = 5 + \frac{2}{5} \times 3 = 6.2$ $f(9) = 5 + \frac{2}{5} \times 4 = 6.6$ - Soma inferior: $$\text{Área inferior} = 1 \times \sum_{i=0}^{9} \min(f(x_i), f(x_{i+1}))$$ $$= 1 \times (\min(1,2) + \min(2,3) + \min(3,3.67) + \min(3.67,4.33) + \min(4.33,5) + \min(5,5.4) + \min(5.4,5.8) + \min(5.8,6.2) + \min(6.2,6.6) + \min(6.6,7))$$ $$= 1 \times (1 + 2 + 3 + 3.67 + 4.33 + 5 + 5.4 + 5.8 + 6.2 + 6.6) = 42$$ - Soma superior: $$\text{Área superior} = 1 \times \sum_{i=0}^{9} \max(f(x_i), f(x_{i+1}))$$ $$= 1 \times (2 + 3 + 3.67 + 4.33 + 5 + 5.4 + 5.8 + 6.2 + 6.6 + 7) = 49$$ **Resposta final:** - Estimativas com 5 retângulos: área inferior $\approx 39.86$, área superior $\approx 51.86$. - Estimativas com 10 retângulos: área inferior $= 42$, área superior $= 49$. Essas estimativas mostram que aumentando o número de retângulos, a aproximação da área sob o gráfico melhora.