1. Vamos resolver cada problema passo a passo para facilitar o entendimento. 2. **Problema 1: Diferenciação logarítmica de** $y = e^{x^2} \sqrt{x} (x^2 + 1)^{10}$ 3. Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados: $$\ln y = \ln \left(e^{x^2} \sqrt{x} (x^2 + 1)^{10}\right)$$ 4. Usando propriedades do logaritmo: $$\ln y = x^2 + \ln x^{1/2} + 10 \ln (x^2 + 1)$$ 5. Simplificando: $$\ln y = x^2 + \frac{1}{2} \ln x + 10 \ln (x^2 + 1)$$ 6. Diferenciando ambos os lados em relação a $x$: $$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + 10 \cdot \frac{2x}{x^2 + 1}$$ 7. Multiplicando ambos os lados por $y$: $$\frac{dy}{dx} = y \left(2x + \frac{1}{2x} + \frac{20x}{x^2 + 1}\right)$$ 8. Substituindo $y$ de volta: $$\frac{dy}{dx} = e^{x^2} \sqrt{x} (x^2 + 1)^{10} \left(2x + \frac{1}{2x} + \frac{20x}{x^2 + 1}\right)$$ --- 9. **Problema 2: Calcular $\frac{dy}{dx}$ quando $t=1$ para** $$x = t \ln t, \quad y = \frac{\ln t}{t}$$ 10. Derivando $x$ em relação a $t$: $$\frac{dx}{dt} = \ln t + t \cdot \frac{1}{t} = \ln t + 1$$ 11. Derivando $y$ em relação a $t$ usando a regra do quociente: $$\frac{dy}{dt} = \frac{\frac{1}{t} \cdot t - \ln t \cdot 1}{t^2} = \frac{1 - \ln t}{t^2}$$ 12. Derivada de $y$ em relação a $x$: $$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{1 - \ln t}{t^2}}{\ln t + 1}$$ 13. Avaliando em $t=1$: $$\ln 1 = 0$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1 - 0}{1^2}}{0 + 1} = \frac{1}{1} = 1$$ --- 14. **Problema 3.1: Domínio da função** $$f(x) = \frac{1}{1 - \sqrt{x}}$$ 15. Para $f(x)$ estar definida, o denominador não pode ser zero e $\sqrt{x}$ deve ser real: - $x \geq 0$ (para raiz quadrada) - $1 - \sqrt{x} \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 1 \Rightarrow x \neq 1$ 16. Portanto, o domínio é: $$\{x \in \mathbb{R} : x \geq 0, x \neq 1\}$$ --- 17. **Problema 3.2: Calcular** $$\int \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx = \int \frac{1}{(1 - \sqrt{x}) \sqrt{x}} dx$$ 18. Substituímos $u = \sqrt{x}$, então $x = u^2$ e $dx = 2u du$. 19. Substituindo na integral: $$\int \frac{1}{(1 - u) u} \cdot 2u du = \int \frac{2u}{u(1 - u)} du = \int \frac{2}{1 - u} du$$ 20. Integral: $$\int \frac{2}{1 - u} du = -2 \int \frac{1}{u - 1} du = -2 \ln |1 - u| + C$$ 21. Voltando para $x$: $$-2 \ln |1 - \sqrt{x}| + C$$ --- 22. **Problema 4.1: Calcular limite** $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9 + 5x + 4x^2} - 3}{x}$$ 23. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado: $$\frac{\sqrt{9 + 5x + 4x^2} - 3}{x} \cdot \frac{\sqrt{9 + 5x + 4x^2} + 3}{\sqrt{9 + 5x + 4x^2} + 3} = \frac{9 + 5x + 4x^2 - 9}{x (\sqrt{9 + 5x + 4x^2} + 3)}$$ 24. Simplificando o numerador: $$\frac{5x + 4x^2}{x (\sqrt{9 + 5x + 4x^2} + 3)} = \frac{\cancel{x}(5 + 4x)}{\cancel{x} (\sqrt{9 + 5x + 4x^2} + 3)} = \frac{5 + 4x}{\sqrt{9 + 5x + 4x^2} + 3}$$ 25. Avaliando o limite quando $x \to 0$: $$\frac{5 + 0}{\sqrt{9 + 0 + 0} + 3} = \frac{5}{3 + 3} = \frac{5}{6}$$ --- 26. **Problema 4.2: Calcular limite** $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cdot \arctan x}{x \ln(1 + x)}$$ 27. Usando aproximações para $x$ próximo de zero: - $\sin x \approx x$ - $\arctan x \approx x$ - $\ln(1 + x) \approx x$ 28. Substituindo aproximações: $$\frac{x \cdot x}{x \cdot x} = 1$$ 29. Portanto, o limite é 1. --- 30. **Problema 5: Estudo da função** $$g(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$$ 31. **Assimptotas verticais:** zeros do denominador: $$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$$ 32. Portanto, assimptotas verticais em: $$x = -2, \quad x = 2$$ 33. **Assimptotas horizontais:** limite quando $x \to \pm \infty$: $$\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4} = 1$$ 34. Portanto, assimptota horizontal: $$y = 1$$ 35. **Monotonia e extremos:** derivamos $g(x)$ usando a regra do quociente: $$g'(x) = \frac{(2x)(x^2 - 4) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x(x^2 - 4 - x^2 + 1)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x(-3)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-6x}{(x^2 - 4)^2}$$ 36. O denominador é sempre positivo (quadrado), então o sinal de $g'(x)$ depende de $-6x$: - Para $x > 0$, $g'(x) < 0$ (função decrescente) - Para $x < 0$, $g'(x) > 0$ (função crescente) 37. Portanto, $g$ tem um máximo relativo em $x=0$. 38. Avaliando $g(0)$: $$g(0) = \frac{0 - 1}{0 - 4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$$ --- **Resumo final:** - $\frac{dy}{dx}$ para $y = e^{x^2} \sqrt{x} (x^2 + 1)^{10}$ é $$e^{x^2} \sqrt{x} (x^2 + 1)^{10} \left(2x + \frac{1}{2x} + \frac{20x}{x^2 + 1}\right)$$ - $\frac{dy}{dx}$ para $x = t \ln t$, $y = \frac{\ln t}{t}$ em $t=1$ é 1 - Domínio de $f(x) = \frac{1}{1 - \sqrt{x}}$ é $\{x \geq 0, x \neq 1\}$ - Integral $\int \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx = -2 \ln |1 - \sqrt{x}| + C$ - Limite 4.1 é $\frac{5}{6}$ - Limite 4.2 é 1 - Função $g$ tem assimptotas verticais em $x=\pm 2$, horizontal em $y=1$, é crescente para $x<0$, decrescente para $x>0$ e tem máximo relativo em $(0, \frac{1}{4})$