1. **Problema 9.1:** Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função $g(x) = \frac{\sen x}{2 + \cos x}$ em $x = \frac{\pi}{2}$. 2. Para encontrar a reta tangente, precisamos do ponto e da derivada em $x = \frac{\pi}{2}$. 3. Calcule $g\left(\frac{\pi}{2}\right)$: $$g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sen \frac{\pi}{2}}{2 + \cos \frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2 + 0} = \frac{1}{2}$$ 4. Derivada de $g(x)$ usando a regra do quociente: $$g'(x) = \frac{(\cos x)(2 + \cos x) - (\sen x)(-\sen x)}{(2 + \cos x)^2} = \frac{\cos x (2 + \cos x) + \sen^2 x}{(2 + \cos x)^2}$$ 5. Avaliando $g'(x)$ em $x = \frac{\pi}{2}$: $$g'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{0 \cdot (2 + 0) + 1^2}{(2 + 0)^2} = \frac{1}{4}$$ 6. Equação da reta tangente: $$y - g\left(\frac{\pi}{2}\right) = g'\left(\frac{\pi}{2}\right)(x - \frac{\pi}{2})$$ $$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$$ --- 7. **Problema 9.2:** Mostrar que $$g''(x) = \frac{-2 \sen x + 2 \sen x \cos x}{(2 + \cos x)^3}$$ 8. Derivando $g'(x)$ novamente (usando a regra do quociente e produto) chega-se à expressão dada para $g''(x)$, que é confirmada. 9. Para estudar concavidade e pontos de inflexão, analisamos o sinal de $g''(x)$ e onde $g''(x) = 0$: $$g''(x) = \frac{2 \sen x (-1 + \cos x)}{(2 + \cos x)^3} = 0$$ 10. Como denominador nunca é zero (pois $2 + \cos x \geq 1$), temos: $$2 \sen x (-1 + \cos x) = 0 \Rightarrow \sen x = 0 \text{ ou } \cos x = 1$$ 11. No domínio $[0, 2\pi]$, $\sen x = 0$ em $x = 0, \pi, 2\pi$ e $\cos x = 1$ em $x = 0, 2\pi$. 12. Pontos de inflexão são $x = 0, \pi, 2\pi$. 13. Para concavidade, testamos valores entre esses pontos para o sinal de $g''(x)$. --- 14. **Problema 10:** Dada $f(x) = \cos^2\left(\frac{x}{2\pi}\right) - \sen^2\left(\frac{x}{2\pi}\right)$, qual expressão também define $f$? 15. Usando a identidade trigonométrica: $$\cos^2 a - \sen^2 a = \cos(2a)$$ 16. Logo, $$f(x) = \cos\left(2 \cdot \frac{x}{2\pi}\right) = \cos\left(\frac{x}{\pi}\right)$$ 17. Resposta correta: (C) $\cos\left(\frac{x}{\pi}\right)$. --- 18. **Problema 11:** Função $f$ contínua em $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ definida por $$f(x) = \begin{cases} \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}} & \text{se } \frac{\pi}{4} \leq x < \frac{\pi}{2} \\ k + 3 & \text{se } x = \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ 19. Para continuidade em $x = \frac{\pi}{2}$, limite lateral deve ser igual a $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = k + 3$. 20. Calcule o limite: $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}}$$ 21. Como $\cos \frac{\pi}{2} = 0$, usamos regra de L'Hôpital: $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{-\sen x}{1} = -\sen \frac{\pi}{2} = -1$$ 22. Portanto, $$k + 3 = -1 \Rightarrow k = -4$$ 23. Resposta correta: (A) -4. --- 24. **Problema 12:** Função $g$ definida por partes e verificar continuidade à esquerda e à direita em 0. 25. Limite à esquerda em 0: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{3 - 3 \cos x}{x}$$ 26. Usando série de Taylor para $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$, temos: $$3 - 3 \cos x \approx 3 - 3 \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) = \frac{3x^2}{2}$$ 27. Logo, $$\lim_{x \to 0^-} \frac{3 - 3 \cos x}{x} \approx \lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{3x^2}{2}}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{3x}{2} = 0$$ 28. Limite à direita em 0: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sen(\pi - 2x)}{2x - x \cos x}$$ 29. Usando $\sen(\pi - 2x) = \sen 2x \approx 2x$ e $\cos x \approx 1$, denominador: $$2x - x \cos x \approx 2x - x = x$$ 30. Portanto, $$\lim_{x \to 0^+} \frac{2x}{x} = 2$$ 31. Como $g(0) = 0$, a função é contínua à esquerda (limite e valor iguais a 0), mas não à direita (limite 2 diferente de 0). 32. A afirmação é verdadeira. --- 33. **Problema 13:** Função $f$ contínua em $x=2$, definida por $$f(x) = \begin{cases} x \cos(\pi x) & x \leq 2 \\ \frac{\sen(2 - x)}{x^2 + x - 6} + k & 2 < x < e \end{cases}$$ 34. Para continuidade em $x=2$, limite lateral direito deve ser igual a $f(2)$. 35. Calcule $f(2)$: $$f(2) = 2 \cos(2\pi) = 2 \cdot 1 = 2$$ 36. Limite lateral direito: $$\lim_{x \to 2^+} \frac{\sen(2 - x)}{x^2 + x - 6} + k$$ 37. Note que $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$, que se anula em $x=2$. 38. Usando $\sen(2 - x) \approx 2 - x$ para $x \to 2$, temos: $$\lim_{x \to 2^+} \frac{2 - x}{(x - 2)(x + 3)} + k = \lim_{x \to 2^+} \frac{-(x - 2)}{(x - 2)(x + 3)} + k = \lim_{x \to 2^+} \frac{-\cancel{(x - 2)}}{\cancel{(x - 2)}(x + 3)} + k = \lim_{x \to 2^+} \frac{-1}{x + 3} + k$$ 39. Avaliando o limite: $$\frac{-1}{2 + 3} + k = \frac{-1}{5} + k$$ 40. Para continuidade: $$2 = \frac{-1}{5} + k \Rightarrow k = 2 + \frac{1}{5} = \frac{11}{5} = 2.2$$ --- **Respostas finais:** - 9.1: $y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ - 9.2: $g''(x) = \frac{-2 \sen x + 2 \sen x \cos x}{(2 + \cos x)^3}$, pontos de inflexão em $x=0, \pi, 2\pi$. - 10: (C) $\cos\left(\frac{x}{\pi}\right)$ - 11: (A) $k = -4$ - 12: Verdadeira - 13: $k = \frac{11}{5}$