1. Planteamos el problema: Encontrar el área de la región limitada superiormente por la parábola $$y=\frac{1}{5}x^2+1$$ y interiormente por la circunferencia $$x^2+y^2=9$$, entre sus puntos de intersección. 2. Encontramos los puntos de intersección igualando las dos funciones: $$x^2 + y^2 = 9$$ $$y = \frac{1}{5}x^2 + 1$$ Sustituimos $$y$$ en la ecuación de la circunferencia: $$x^2 + \left(\frac{1}{5}x^2 + 1\right)^2 = 9$$ 3. Expandimos y simplificamos: $$x^2 + \left(\frac{1}{5}x^2\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{5}x^2 \cdot 1 + 1^2 = 9$$ $$x^2 + \frac{1}{25}x^4 + \frac{2}{5}x^2 + 1 = 9$$ 4. Agrupamos términos: $$\frac{1}{25}x^4 + x^2 + \frac{2}{5}x^2 + 1 - 9 = 0$$ $$\frac{1}{25}x^4 + \left(1 + \frac{2}{5}\right)x^2 - 8 = 0$$ $$\frac{1}{25}x^4 + \frac{7}{5}x^2 - 8 = 0$$ 5. Multiplicamos toda la ecuación por 25 para eliminar denominadores: $$x^4 + 35x^2 - 200 = 0$$ 6. Sea $$z = x^2$$, entonces: $$z^2 + 35z - 200 = 0$$ 7. Resolvemos la ecuación cuadrática en $$z$$ usando la fórmula general: $$z = \frac{-35 \pm \sqrt{35^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200)}}{2} = \frac{-35 \pm \sqrt{1225 + 800}}{2} = \frac{-35 \pm \sqrt{2025}}{2}$$ $$\sqrt{2025} = 45$$ Entonces: $$z_1 = \frac{-35 + 45}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$z_2 = \frac{-35 - 45}{2} = \frac{-80}{2} = -40$$ (descartamos porque $$z = x^2 \geq 0$$) 8. Por lo tanto, $$x^2 = 5$$ y los puntos de intersección son: $$x = \pm \sqrt{5}$$ 9. Calculamos el área entre las curvas integrando la diferencia entre la circunferencia y la parábola desde $$-\sqrt{5}$$ hasta $$\sqrt{5}$$: La circunferencia despejada para $$y$$ en la parte superior es: $$y = \sqrt{9 - x^2}$$ Área: $$A = \int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} \left( \sqrt{9 - x^2} - \left(\frac{1}{5}x^2 + 1\right) \right) dx$$ 10. Por simetría, el área es el doble de la integral de 0 a $$\sqrt{5}$$: $$A = 2 \int_0^{\sqrt{5}} \left( \sqrt{9 - x^2} - \frac{1}{5}x^2 - 1 \right) dx$$ 11. Calculamos cada integral por separado: $$I_1 = \int_0^{\sqrt{5}} \sqrt{9 - x^2} \, dx$$ $$I_2 = \int_0^{\sqrt{5}} \frac{1}{5}x^2 \, dx = \frac{1}{5} \int_0^{\sqrt{5}} x^2 \, dx$$ $$I_3 = \int_0^{\sqrt{5}} 1 \, dx$$ 12. Integral $$I_1$$ (área de segmento circular): $$I_1 = \frac{x}{2} \sqrt{9 - x^2} + \frac{9}{2} \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) \Bigg|_0^{\sqrt{5}}$$ Evaluamos: $$\frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{9 - 5} + \frac{9}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) - 0 = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 2 + \frac{9}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = \sqrt{5} + \frac{9}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$$ 13. Integral $$I_2$$: $$I_2 = \frac{1}{5} \cdot \frac{x^3}{3} \Bigg|_0^{\sqrt{5}} = \frac{1}{15} (\sqrt{5})^3 = \frac{1}{15} \cdot 5 \sqrt{5} = \frac{5 \sqrt{5}}{15} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$ 14. Integral $$I_3$$: $$I_3 = x \Big|_0^{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$$ 15. Sumamos y restamos según la integral original: $$A = 2 \left( I_1 - I_2 - I_3 \right) = 2 \left( \sqrt{5} + \frac{9}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) - \frac{\sqrt{5}}{3} - \sqrt{5} \right)$$ Simplificamos términos: $$\sqrt{5} - \sqrt{5} = 0$$ Queda: $$A = 2 \left( \frac{9}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) - \frac{\sqrt{5}}{3} \right) = 9 \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) - \frac{2 \sqrt{5}}{3}$$ 16. Resultado final: $$\boxed{A = 9 \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) - \frac{2 \sqrt{5}}{3}}$$ Este es el área de la región comprendida entre la parábola y la circunferencia en sus puntos de intersección.