Area Rectangulos D0E132

1. **Planteamiento del problema:** Calcular la aproximación del área bajo la curva de la función $$f(x) = 2x + 1$$ en el intervalo $$[1,5]$$ usando 4 rectángulos con extremos derechos e izquierdos. 2. **Calcular \(\Delta x\):** El ancho de cada rectángulo es $$\Delta x = \frac{5-1}{4} = 1$$. 3. **Evaluar la función en los extremos izquierdos:** Los puntos son $$x_0=1, x_1=2, x_2=3, x_3=4$$. Calculamos $$f(x)$$ en estos puntos: $$f(1) = 2(1)+1=3$$ $$f(2) = 2(2)+1=5$$ $$f(3) = 2(3)+1=7$$ $$f(4) = 2(4)+1=9$$ 4. **Área de cada rectángulo con extremos izquierdos:** $$A_i = f(x_i) \times \Delta x$$ $$A_0 = 3 \times 1 = 3$$ $$A_1 = 5 \times 1 = 5$$ $$A_2 = 7 \times 1 = 7$$ $$A_3 = 9 \times 1 = 9$$ 5. **Suma del área con extremos izquierdos (Sinf):** $$S_{inf} = 3 + 5 + 7 + 9 = 24$$ 6. **Evaluar la función en los extremos derechos:** Los puntos son $$x_1=2, x_2=3, x_3=4, x_4=5$$. Calculamos $$f(x)$$ en estos puntos: $$f(2) = 5$$ $$f(3) = 7$$ $$f(4) = 9$$ $$f(5) = 2(5)+1=11$$ 7. **Área de cada rectángulo con extremos derechos:** $$A_i = f(x_i) \times \Delta x$$ $$A_1 = 5 \times 1 = 5$$ $$A_2 = 7 \times 1 = 7$$ $$A_3 = 9 \times 1 = 9$$ $$A_4 = 11 \times 1 = 11$$ 8. **Suma del área con extremos derechos (Ssup):** $$S_{sup} = 5 + 7 + 9 + 11 = 32$$ 9. **Comparativo del área real:** Sabemos que $$S_{inf} \leq \text{Área real} \leq S_{sup}$$ Por lo tanto: $$24 \leq \text{Área real} \leq 32$$ 10. **Área real (integral exacta):** Calculamos la integral definida: $$\int_1^5 (2x+1) dx = \left[x^2 + x\right]_1^5 = (25 + 5) - (1 + 1) = 30 - 2 = 28$$ 11. **Conclusión:** El área real $$28$$ está entre las sumas de los rectángulos con extremos izquierdos y derechos, confirmando la desigualdad: $$24 \leq 28 \leq 32$$