1. Planteamiento del problema: Calcular el área de la región limitada por la curva $$y = x(x - 2)(x - 3)$$ y la recta $$y = 0$$. 2. Encontrar los puntos de intersección entre la curva y la recta, es decir, resolver $$x(x - 2)(x - 3) = 0$$. 3. Los puntos de intersección son $$x = 0$$, $$x = 2$$ y $$x = 3$$. 4. Para calcular el área entre la curva y la recta, integramos el valor absoluto de la función entre los puntos de intersección: $$\text{Área} = \int_0^2 |x(x - 2)(x - 3)| \, dx + \int_2^3 |x(x - 2)(x - 3)| \, dx$$ 5. Analizamos el signo de la función en cada intervalo: - Para $$x \in (0,2)$$, evaluamos en $$x=1$$: $$1(1-2)(1-3) = 1 \times (-1) \times (-2) = 2 > 0$$, la función es positiva. - Para $$x \in (2,3)$$, evaluamos en $$x=2.5$$: $$2.5(2.5-2)(2.5-3) = 2.5 \times 0.5 \times (-0.5) = -0.625 < 0$$, la función es negativa. 6. Por lo tanto: $$\text{Área} = \int_0^2 x(x - 2)(x - 3) \, dx - \int_2^3 x(x - 2)(x - 3) \, dx$$ 7. Expandimos la función: $$x(x - 2)(x - 3) = x(x^2 - 5x + 6) = x^3 - 5x^2 + 6x$$ 8. Calculamos las integrales: $$\int x^3 - 5x^2 + 6x \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{5x^3}{3} + 3x^2 + C$$ 9. Evaluamos en los límites: Para $$\int_0^2$$: $$\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{5x^3}{3} + 3x^2 \right]_0^2 = \left( \frac{16}{4} - \frac{40}{3} + 12 \right) - 0 = 4 - \frac{40}{3} + 12 = 16 - \frac{40}{3} = \frac{48}{3} - \frac{40}{3} = \frac{8}{3}$$ Para $$\int_2^3$$: $$\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{5x^3}{3} + 3x^2 \right]_2^3 = \left( \frac{81}{4} - \frac{135}{3} + 27 \right) - \left( 4 - \frac{40}{3} + 12 \right)$$ Simplificamos cada parte: $$\frac{81}{4} - 45 + 27 = \frac{81}{4} - 18 = \frac{81 - 72}{4} = \frac{9}{4}$$ $$4 - \frac{40}{3} + 12 = 16 - \frac{40}{3} = \frac{48}{3} - \frac{40}{3} = \frac{8}{3}$$ Por lo tanto: $$\frac{9}{4} - \frac{8}{3} = \frac{27}{12} - \frac{32}{12} = -\frac{5}{12}$$ 10. Finalmente, el área total es: $$\text{Área} = \frac{8}{3} - \left(-\frac{5}{12}\right) = \frac{8}{3} + \frac{5}{12} = \frac{32}{12} + \frac{5}{12} = \frac{37}{12}$$ 11. Respuesta: El área de la región limitada por la curva y la recta es $$\boxed{\frac{37}{12}}$$ unidades cuadradas.