1. **Planteamiento del problema:** Queremos encontrar el área bajo la curva de la función $$y = x^3$$ en el intervalo $$[-2,1]$$. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** El área bajo una curva $$y=f(x)$$ entre $$x=a$$ y $$x=b$$ se calcula con la integral definida: $$\text{Área} = \int_a^b f(x) \, dx$$ Si usamos $$y$$ como variable, debemos expresar $$x$$ en función de $$y$$ y cambiar los límites de integración. 3. **Cálculo del área usando $$x$$ como variable:** La función es $$y = x^3$$, entonces: $$\text{Área} = \int_{-2}^1 x^3 \, dx$$ Calculamos la integral: $$\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C$$ Evaluamos en los límites: $$\left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{(-2)^4}{4} = \frac{1}{4} - \frac{16}{4} = \frac{1}{4} - 4 = -\frac{15}{4}$$ 4. **Interpretación del resultado:** El resultado es negativo porque la curva está por debajo del eje $$x$$ en parte del intervalo. El área es el valor absoluto: $$\text{Área} = \left| -\frac{15}{4} \right| = \frac{15}{4} = 3.75$$ 5. **Cálculo del área usando $$y$$ como variable:** Dado $$y = x^3$$, despejamos $$x$$: $$x = y^{1/3}$$ Los límites en $$y$$ corresponden a $$y(-2) = (-2)^3 = -8$$ y $$y(1) = 1^3 = 1$$. El área se calcula integrando horizontalmente: $$\text{Área} = \int_{-8}^1 x \, dy = \int_{-8}^1 y^{1/3} \, dy$$ Calculamos la integral: $$\int y^{1/3} \, dy = \frac{y^{4/3}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4} y^{4/3} + C$$ Evaluamos en los límites: $$\left[ \frac{3}{4} y^{4/3} \right]_{-8}^1 = \frac{3}{4} (1)^{4/3} - \frac{3}{4} (-8)^{4/3}$$ Calculamos $$(-8)^{4/3}$$: $$(-8)^{4/3} = \left((-8)^{1/3}\right)^4 = (-2)^4 = 16$$ Entonces: $$\frac{3}{4} (1) - \frac{3}{4} (16) = \frac{3}{4} - 12 = -\frac{45}{4}$$ 6. **Interpretación del resultado con variable $$y$$:** El resultado es negativo, tomamos el valor absoluto para el área: $$\text{Área} = \left| -\frac{45}{4} \right| = \frac{45}{4} = 11.25$$ 7. **Conclusión:** Los resultados no coinciden porque al integrar con respecto a $$y$$ se está calculando el área entre la curva y el eje $$y$$, no el área bajo la curva respecto a $$x$$. Para el área bajo la curva en $$x$$, el resultado correcto es $$\frac{15}{4} = 3.75$$. **Respuesta final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{15}{4} = 3.75}$$