1. Problema: Calcular la integral indefinida $$\int 5x(1 - 2x)^2 \, dx$$ 2. Fórmula y regla: Usamos la regla de sustitución para integrales de la forma $$\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$$ donde $$u = g(x)$$. 3. Sustitución: Sea $$u = 1 - 2x$$, entonces $$du = -2 \, dx$$ o $$dx = \frac{du}{-2}$$. 4. Expresamos $$x$$ en términos de $$u$$: $$u = 1 - 2x \Rightarrow 2x = 1 - u \Rightarrow x = \frac{1 - u}{2}$$. 5. Reescribimos la integral: $$\int 5x(1 - 2x)^2 \, dx = \int 5 \cdot \frac{1 - u}{2} \cdot u^2 \cdot \frac{du}{-2} = \int 5 \cdot \frac{1 - u}{2} \cdot u^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) du$$ 6. Simplificamos los coeficientes: $$5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{5}{4}$$ 7. La integral queda: $$-\frac{5}{4} \int (1 - u) u^2 \, du = -\frac{5}{4} \int (u^2 - u^3) \, du$$ 8. Integramos término a término: $$-\frac{5}{4} \left( \int u^2 \, du - \int u^3 \, du \right) = -\frac{5}{4} \left( \frac{u^3}{3} - \frac{u^4}{4} \right) + C$$ 9. Simplificamos: $$= -\frac{5}{4} \left( \frac{u^3}{3} - \frac{u^4}{4} \right) + C = -\frac{5}{12} u^3 + \frac{5}{16} u^4 + C$$ 10. Sustituimos $$u = 1 - 2x$$ de nuevo: $$\boxed{\int 5x(1 - 2x)^2 \, dx = -\frac{5}{12} (1 - 2x)^3 + \frac{5}{16} (1 - 2x)^4 + C}$$