1. Planteamos el problema: Calcular la integral doble $$\iint_R (x^2 + y^2) \, dA$$ donde $R$ es la región entre las circunferencias $x^2 + y^2 = 4$ y $x^2 + y^2 = 9$. 2. Usamos coordenadas polares para simplificar la integral, recordando que $x^2 + y^2 = r^2$ y $dA = r \, dr \, d\theta$. 3. La región $R$ corresponde a $2 \leq r \leq 3$ y $0 \leq \theta \leq 2\pi$. 4. La integral se transforma en: $$\int_0^{2\pi} \int_2^3 r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_2^3 r^3 \, dr \, d\theta$$ 5. Calculamos la integral interna: $$\int_2^3 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_2^3 = \frac{3^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{16}{4} = \frac{65}{4}$$ 6. Ahora la integral externa: $$\int_0^{2\pi} \frac{65}{4} \, d\theta = \frac{65}{4} \cdot \left[ \theta \right]_0^{2\pi} = \frac{65}{4} \cdot 2\pi = \frac{65}{2} \pi = 32.5 \pi$$ 7. Revisamos las opciones y ninguna es $32.5 \pi$, por lo que verificamos el paso 4: el integrando es $r^2$, y el diferencial de área es $r dr d\theta$, entonces el integrando total es $r^2 \cdot r = r^3$ correcto. 8. Confirmamos que la integral es correcta y el resultado es $32.5 \pi$. 9. Como ninguna opción coincide, revisamos si el problema pide otra cosa o si hay un error en las opciones. 10. Si el problema pide calcular $$\iint_R (x^2 + y^2) \, dA$$ con $R$ entre $r=2$ y $r=3$, el resultado es $32.5 \pi$. 11. Por lo tanto, la respuesta correcta es $32.5 \pi$, que no está en las opciones dadas. 12. Si se considera un error tipográfico y se busca la opción más cercana, $17.5 \pi$ es la opción 3, pero no corresponde al cálculo correcto. Respuesta final: $$\boxed{32.5 \pi}$$