1. El problema nos pide expresar la integral impropia $$\int_{-3}^{\infty} (x^2 - 4)^2 x^2 \, dx$$ como suma de varias integrales impropias. 2. Para esto, recordemos que una integral impropia con límite infinito o con discontinuidades se puede expresar como suma de integrales en intervalos donde la función es continua y los límites son finitos o infinitos. 3. Observamos que la integral va de $$-3$$ a $$\infty$$, por lo que la podemos dividir en dos integrales impropias: $$\int_{-3}^{\infty} (x^2 - 4)^2 x^2 \, dx = \int_{-3}^{0} (x^2 - 4)^2 x^2 \, dx + \int_{0}^{\infty} (x^2 - 4)^2 x^2 \, dx$$ 4. Ahora evaluamos cada integral por separado. 5. Primero, expandimos el integrando para facilitar la integración: $$ (x^2 - 4)^2 x^2 = (x^4 - 8x^2 + 16) x^2 = x^6 - 8x^4 + 16x^2 $$ 6. Entonces, la integral se convierte en: $$\int (x^6 - 8x^4 + 16x^2) \, dx = \int x^6 \, dx - 8 \int x^4 \, dx + 16 \int x^2 \, dx$$ 7. Calculamos las primitivas: $$\int x^6 \, dx = \frac{x^7}{7}$$ $$\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}$$ $$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$$ 8. Por lo tanto, la primitiva general es: $$F(x) = \frac{x^7}{7} - 8 \cdot \frac{x^5}{5} + 16 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^7}{7} - \frac{8x^5}{5} + \frac{16x^3}{3} + C$$ 9. Evaluamos la primera integral impropia: $$\int_{-3}^{0} (x^2 - 4)^2 x^2 \, dx = F(0) - F(-3)$$ Calculamos: $$F(0) = 0$$ $$F(-3) = \frac{(-3)^7}{7} - \frac{8(-3)^5}{5} + \frac{16(-3)^3}{3} = \frac{-2187}{7} - \frac{8(-243)}{5} + \frac{16(-27)}{3}$$ Simplificamos cada término: $$\frac{-2187}{7}$$ $$- \frac{8(-243)}{5} = + \frac{1944}{5}$$ $$\frac{16(-27)}{3} = - \frac{432}{3} = -144$$ Sumamos: $$F(-3) = -\frac{2187}{7} + \frac{1944}{5} - 144$$ Para sumar, llevamos a común denominador 35: $$-\frac{2187}{7} = -\frac{2187 \times 5}{35} = -\frac{10935}{35}$$ $$\frac{1944}{5} = \frac{1944 \times 7}{35} = \frac{13608}{35}$$ $$-144 = -\frac{144 \times 35}{35} = -\frac{5040}{35}$$ Sumamos numeradores: $$-10935 + 13608 - 5040 = (-10935 + 13608) - 5040 = 2673 - 5040 = -2367$$ Entonces: $$F(-3) = -\frac{2367}{35}$$ Por lo tanto: $$\int_{-3}^{0} (x^2 - 4)^2 x^2 \, dx = 0 - \left(-\frac{2367}{35}\right) = \frac{2367}{35}$$ 10. Ahora evaluamos la segunda integral impropia: $$\int_{0}^{\infty} (x^2 - 4)^2 x^2 \, dx = \lim_{b \to \infty} [F(b) - F(0)] = \lim_{b \to \infty} F(b)$$ 11. Observamos que el término dominante en $$F(b)$$ es $$\frac{b^7}{7}$$ que tiende a $$\infty$$ cuando $$b \to \infty$$. Por lo tanto, la integral diverge y no tiene un valor finito. 12. Resumen: - La integral se expresa como suma de dos integrales impropias: $$\int_{-3}^{\infty} (x^2 - 4)^2 x^2 \, dx = \int_{-3}^{0} (x^2 - 4)^2 x^2 \, dx + \int_{0}^{\infty} (x^2 - 4)^2 x^2 \, dx$$ - La primera integral converge y su valor es $$\frac{2367}{35}$$. - La segunda integral diverge a $$\infty$$. Por lo tanto, la integral original diverge.