1. **Planteamiento del problema:** Resolver la integral $ \int (4x + 3) \cdot \ln(2x + 3) \, dx $. 2. **Fórmula y reglas importantes:** Usaremos integración por partes, que se basa en la fórmula: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Elegimos: - $ u = \ln(2x + 3) $ porque su derivada es más simple. - $ dv = (4x + 3) dx $. 3. **Derivamos y calculamos:** - $ du = \frac{2}{2x + 3} dx $ (derivada de $ \ln(2x + 3) $ usando regla cadena). - $ v = \int (4x + 3) dx = 2x^2 + 3x $. 4. **Aplicamos integración por partes:** $$\int (4x + 3) \ln(2x + 3) dx = (2x^2 + 3x) \ln(2x + 3) - \int (2x^2 + 3x) \cdot \frac{2}{2x + 3} dx$$ 5. **Simplificamos el integrando:** $$\int \frac{2(2x^2 + 3x)}{2x + 3} dx = 2 \int \frac{2x^2 + 3x}{2x + 3} dx$$ 6. **Dividimos el polinomio:** Dividimos $ 2x^2 + 3x $ entre $ 2x + 3 $: - Cociente: $ x $ - Residuo: $ -3x $ Así: $$\frac{2x^2 + 3x}{2x + 3} = x + \frac{-3x}{2x + 3}$$ 7. **Reescribimos la integral:** $$2 \int \left(x - \frac{3x}{2x + 3}\right) dx = 2 \int x \, dx - 2 \int \frac{3x}{2x + 3} dx$$ 8. **Calculamos cada integral:** - $ 2 \int x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 $ - Para $ \int \frac{3x}{2x + 3} dx $, hacemos sustitución: Sea $ t = 2x + 3 \Rightarrow dt = 2 dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{2} $ Además, $ x = \frac{t - 3}{2} $, entonces: $$\int \frac{3x}{t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{3}{2} \int \frac{t - 3}{t} dt = \frac{3}{2} \int \left(1 - \frac{3}{t}\right) dt = \frac{3}{2} \left(t - 3 \ln|t|\right) + C$$ 9. **Volvemos a $ x $:** $$\frac{3}{2} (2x + 3 - 3 \ln|2x + 3|) = \frac{3}{2} (2x + 3) - \frac{9}{2} \ln|2x + 3|$$ 10. **Sustituimos en la integral original:** $$2 \int \frac{3x}{2x + 3} dx = 3x + \frac{9}{2} \ln|2x + 3|$$ 11. **Integral completa:** $$\int (4x + 3) \ln(2x + 3) dx = (2x^2 + 3x) \ln(2x + 3) - \left(x^2 - 3x - \frac{9}{2} \ln|2x + 3|\right) + C$$ 12. **Simplificamos:** $$= (2x^2 + 3x) \ln(2x + 3) - x^2 + 3x + \frac{9}{2} \ln|2x + 3| + C$$ 13. **Respuesta final:** $$\boxed{\int (4x + 3) \ln(2x + 3) dx = (2x^2 + 3x) \ln(2x + 3) - x^2 + 3x + \frac{9}{2} \ln|2x + 3| + C}$$ q_count: 7