1. Planteamos el problema: calcular la integral $$\int \frac{x \, dx}{\sqrt{5x^2 - 2x + 1}}$$ usando sustitución. 2. Observamos que el denominador es $$\sqrt{5x^2 - 2x + 1}$$. Para simplificar, intentamos una sustitución con la expresión dentro de la raíz. Sea $$u = 5x^2 - 2x + 1$$. 3. Derivamos $$u$$ respecto a $$x$$: $$\frac{du}{dx} = 10x - 2$$, por lo que $$du = (10x - 2) dx$$. 4. Queremos expresar $$x dx$$ en términos de $$du$$. De $$du = (10x - 2) dx$$ despejamos: $$du = 10x dx - 2 dx$$ No podemos despejar directamente $$x dx$$, pero podemos intentar escribir $$x dx$$ en función de $$du$$ y $$dx$$: $$10x dx = du + 2 dx$$ $$x dx = \frac{du + 2 dx}{10}$$ Esto no simplifica directamente, por lo que intentamos otra sustitución. 5. Otra estrategia es completar el cuadrado en el denominador: $$5x^2 - 2x + 1 = 5\left(x^2 - \frac{2}{5}x\right) + 1$$ Completamos el cuadrado dentro del paréntesis: $$x^2 - \frac{2}{5}x = \left(x - \frac{1}{5}\right)^2 - \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \left(x - \frac{1}{5}\right)^2 - \frac{1}{25}$$ Por lo tanto: $$5x^2 - 2x + 1 = 5\left(\left(x - \frac{1}{5}\right)^2 - \frac{1}{25}\right) + 1 = 5\left(x - \frac{1}{5}\right)^2 - \frac{5}{25} + 1 = 5\left(x - \frac{1}{5}\right)^2 + \frac{20}{25} = 5\left(x - \frac{1}{5}\right)^2 + \frac{4}{5}$$ 6. La integral queda: $$\int \frac{x \, dx}{\sqrt{5\left(x - \frac{1}{5}\right)^2 + \frac{4}{5}}}$$ 7. Hacemos la sustitución $$t = x - \frac{1}{5}$$, entonces $$x = t + \frac{1}{5}$$ y $$dx = dt$$. La integral es: $$\int \frac{\left(t + \frac{1}{5}\right) dt}{\sqrt{5t^2 + \frac{4}{5}}} = \int \frac{t dt}{\sqrt{5t^2 + \frac{4}{5}}} + \frac{1}{5} \int \frac{dt}{\sqrt{5t^2 + \frac{4}{5}}}$$ 8. Resolvemos cada integral por separado. Primero, $$I_1 = \int \frac{t dt}{\sqrt{5t^2 + \frac{4}{5}}}$$. Hacemos la sustitución $$u = 5t^2 + \frac{4}{5}$$, entonces $$du = 10t dt$$, por lo que $$t dt = \frac{du}{10}$$. La integral queda: $$I_1 = \int \frac{t dt}{\sqrt{u}} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{10} = \frac{1}{10} \int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{10} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C = \frac{1}{5} \sqrt{5t^2 + \frac{4}{5}} + C$$ 9. Ahora, $$I_2 = \int \frac{dt}{\sqrt{5t^2 + \frac{4}{5}}}$$. Sacamos factor común dentro de la raíz: $$\sqrt{5t^2 + \frac{4}{5}} = \sqrt{5 \left(t^2 + \frac{4}{25}\right)} = \sqrt{5} \sqrt{t^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2}$$ Entonces: $$I_2 = \int \frac{dt}{\sqrt{5} \sqrt{t^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2}}$$ Esta integral es estándar: $$\int \frac{dt}{\sqrt{t^2 + a^2}} = \ln \left| t + \sqrt{t^2 + a^2} \right| + C$$ Por lo tanto: $$I_2 = \frac{1}{\sqrt{5}} \ln \left| t + \sqrt{t^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2} \right| + C$$ 10. Sumamos las dos integrales: $$\int \frac{x \, dx}{\sqrt{5x^2 - 2x + 1}} = I_1 + \frac{1}{5} I_2 + C = \frac{1}{5} \sqrt{5t^2 + \frac{4}{5}} + \frac{1}{5 \sqrt{5}} \ln \left| t + \sqrt{t^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2} \right| + C$$ 11. Reemplazamos $$t = x - \frac{1}{5}$$: $$= \frac{1}{5} \sqrt{5\left(x - \frac{1}{5}\right)^2 + \frac{4}{5}} + \frac{1}{5 \sqrt{5}} \ln \left| x - \frac{1}{5} + \sqrt{\left(x - \frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2} \right| + C$$ 12. Simplificamos la raíz del primer término: $$\sqrt{5\left(x - \frac{1}{5}\right)^2 + \frac{4}{5}} = \sqrt{5x^2 - 2x + 1}$$ Por lo que la solución final es: $$\boxed{\frac{1}{5} \sqrt{5x^2 - 2x + 1} + \frac{1}{5 \sqrt{5}} \ln \left| x - \frac{1}{5} + \sqrt{\left(x - \frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2} \right| + C}$$