1. Planteamos el problema: Calcular la integral $$\int \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 3} \, dx$$. 2. Usamos el método de sustitución. Sea $$u = e^{2x} + 3$$. 3. Derivamos $$u$$ respecto a $$x$$: $$\frac{du}{dx} = 2e^{2x}$$, entonces $$du = 2e^{2x} dx$$. 4. Despejamos $$dx$$: $$dx = \frac{du}{2e^{2x}}$$. 5. Reescribimos la integral en términos de $$u$$: $$\int \frac{e^{2x} - 1}{u} \cdot \frac{du}{2e^{2x}} = \frac{1}{2} \int \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} u} du = \frac{1}{2} \int \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} (e^{2x} + 3)} du$$. 6. Simplificamos la fracción dentro de la integral: $$\frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} (e^{2x} + 3)} = \frac{e^{2x}}{e^{2x} (e^{2x} + 3)} - \frac{1}{e^{2x} (e^{2x} + 3)} = \frac{1}{e^{2x} + 3} - \frac{1}{e^{2x} (e^{2x} + 3)}$$. 7. Sin embargo, esta forma no facilita la integración directa. Mejor volvemos a la sustitución inicial y expresamos $$e^{2x}$$ en función de $$u$$: $$u = e^{2x} + 3 \Rightarrow e^{2x} = u - 3$$. 8. Entonces, $$du = 2e^{2x} dx = 2(u - 3) dx$$, despejamos $$dx$$: $$dx = \frac{du}{2(u - 3)}$$. 9. La integral original se convierte en: $$\int \frac{(u - 3) - 1}{u} \cdot \frac{du}{2(u - 3)} = \frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{u (u - 3)} du$$. 10. Simplificamos la integral: $$\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{u (u - 3)} du = \frac{1}{2} \int \left( \frac{A}{u} + \frac{B}{u - 3} \right) du$$. 11. Encontramos los coeficientes $$A$$ y $$B$$ para la descomposición en fracciones parciales: $$u - 4 = A(u - 3) + Bu$$. 12. Expandimos y agrupamos: $$u - 4 = A u - 3A + B u = (A + B) u - 3A$$. 13. Igualamos coeficientes: Para $$u$$: $$1 = A + B$$. Para término independiente: $$-4 = -3A$$. 14. De $$-4 = -3A$$, obtenemos $$A = \frac{4}{3}$$. 15. De $$1 = A + B$$, obtenemos $$B = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$$. 16. La integral queda: $$\frac{1}{2} \int \left( \frac{4/3}{u} - \frac{1/3}{u - 3} \right) du = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{3} \int \frac{1}{u} du - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u - 3} du \right)$$. 17. Integramos: $$\int \frac{1}{u} du = \ln|u|$$ y $$\int \frac{1}{u - 3} du = \ln|u - 3|$$. 18. Por lo tanto: $$\frac{1}{2} \left( \frac{4}{3} \ln|u| - \frac{1}{3} \ln|u - 3| \right) + C = \frac{2}{3} \ln|u| - \frac{1}{6} \ln|u - 3| + C$$. 19. Finalmente, sustituimos $$u = e^{2x} + 3$$: $$\boxed{\frac{2}{3} \ln|e^{2x} + 3| - \frac{1}{6} \ln|e^{2x}| + C}$$. 20. Como $$\ln|e^{2x}| = 2x$$, podemos escribir: $$\frac{2}{3} \ln|e^{2x} + 3| - \frac{1}{6} (2x) + C = \frac{2}{3} \ln|e^{2x} + 3| - \frac{x}{3} + C$$. Respuesta final: $$\int \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 3} dx = \frac{2}{3} \ln|e^{2x} + 3| - \frac{x}{3} + C$$.