1. **Planteamiento del problema:** Queremos calcular la población acumulada $P$ entre $t=0.5$ años (6 meses) y $t=5$ años usando la definición de sumas de Riemann con extremo izquierdo para la integral $$P=\int_a^b g(t) dt$$ donde $$g(t) = k_1(t) e^t + k_2(t) \ln(t+1)$$ con $$k_1(t) = \frac{2}{e^{2t}+1}, \quad k_2(t) = \frac{3}{t+1}.$$ 2. **Definición de suma de Riemann con extremo izquierdo:** Dividimos el intervalo $[a,b] = [0.5,5]$ en $n$ subintervalos iguales de longitud $$\Delta t = \frac{b-a}{n} = \frac{5-0.5}{n} = \frac{4.5}{n}.$$ Los puntos de división son $$t_i = a + i \Delta t, \quad i=0,1,2,\ldots,n.$$ La suma de Riemann con extremo izquierdo es $$S_n = \sum_{i=0}^{n-1} g(t_i) \Delta t.$$ 3. **Evaluación de $g(t_i)$:** Para cada $t_i$, calculamos $$g(t_i) = \frac{2}{e^{2t_i}+1} e^{t_i} + \frac{3}{t_i+1} \ln(t_i+1).$$ 4. **Procedimiento para aproximar $P$:** - Elegimos un valor de $n$ suficientemente grande para buena aproximación. - Calculamos $\Delta t$. - Calculamos cada $t_i$ para $i=0$ a $n-1$. - Evaluamos $g(t_i)$. - Sumamos $g(t_i) \Delta t$ para obtener $S_n$. 5. **Ejemplo con $n=4$ para ilustrar:** $$\Delta t = \frac{4.5}{4} = 1.125.$$ Los puntos son $$t_0=0.5, t_1=1.625, t_2=2.75, t_3=3.875, t_4=5.$$ Usamos solo $t_0$ a $t_3$ para la suma izquierda. 6. **Cálculo de cada término:** $$g(t_0) = \frac{2}{e^{2\cdot0.5}+1} e^{0.5} + \frac{3}{0.5+1} \ln(0.5+1)$$ $$g(t_1) = \frac{2}{e^{2\cdot1.625}+1} e^{1.625} + \frac{3}{1.625+1} \ln(1.625+1)$$ $$g(t_2) = \frac{2}{e^{2\cdot2.75}+1} e^{2.75} + \frac{3}{2.75+1} \ln(2.75+1)$$ $$g(t_3) = \frac{2}{e^{2\cdot3.875}+1} e^{3.875} + \frac{3}{3.875+1} \ln(3.875+1)$$ 7. **Suma aproximada:** $$S_4 = (g(t_0) + g(t_1) + g(t_2) + g(t_3)) \times 1.125.$$ 8. **Interpretación:** Esta suma aproxima la población acumulada $P$ en el intervalo dado usando la definición de suma de Riemann con extremo izquierdo. **Respuesta final:** La población acumulada $P$ se aproxima por $$P \approx \sum_{i=0}^{n-1} \left( \frac{2}{e^{2t_i}+1} e^{t_i} + \frac{3}{t_i+1} \ln(t_i+1) \right) \Delta t$$ con $t_i = 0.5 + i \Delta t$, $\Delta t = \frac{4.5}{n}$ y $n$ grande para mejor precisión.