1. **Planteamiento del problema:** Queremos calcular el valor presente total de las ganancias futuras de una empresa de software cuya tasa de ingresos está dada por la función $$f(t) = 5000e^{-0.1t}$$ para $$t \geq 0$$. 2. **Fórmula y concepto:** El valor presente total se calcula mediante la integral impropia $$\int_0^\infty 5000e^{-0.1t} dt$$. Para que esta integral tenga sentido, primero debemos determinar si converge o diverge. 3. **Determinación de convergencia:** La función $$5000e^{-0.1t}$$ es una función exponencial decreciente para $$t \geq 0$$. Sabemos que $$\int_0^\infty e^{-kt} dt$$ converge si $$k > 0$$. Aquí, $$k = 0.1 > 0$$, por lo que la integral converge. 4. **Cálculo de la integral:** Calculamos $$\int_0^\infty 5000e^{-0.1t} dt = 5000 \int_0^\infty e^{-0.1t} dt$$ 5. **Integral básica:** $$\int e^{-0.1t} dt = \frac{-1}{0.1} e^{-0.1t} + C = -10 e^{-0.1t} + C$$ 6. **Evaluación de la integral impropia:** $$\int_0^\infty e^{-0.1t} dt = \lim_{b \to \infty} \int_0^b e^{-0.1t} dt = \lim_{b \to \infty} \left[-10 e^{-0.1t} \right]_0^b = \lim_{b \to \infty} \left(-10 e^{-0.1b} + 10 \right)$$ 7. **Límite:** Como $$\lim_{b \to \infty} e^{-0.1b} = 0$$, entonces $$\int_0^\infty e^{-0.1t} dt = 10$$ 8. **Valor presente total:** Multiplicando por 5000, $$\int_0^\infty 5000 e^{-0.1t} dt = 5000 \times 10 = 50000$$ **Respuesta final:** El valor presente total de las ganancias futuras de la empresa es $$50000$$ dólares.