1. El problema es hallar el volumen de un sólido usando coordenadas cilíndricas, donde el sólido está definido por la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ y la región proyectada en el plano $r\theta$ está limitada por $0 \leq r \leq 2 \sin \theta$ y $0 \leq \theta \leq \pi$. 2. En coordenadas cilíndricas, $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$, y $z = z$. La ecuación de la esfera se convierte en $$r^2 + z^2 = 4.$$ Por lo tanto, los límites para $z$ son $$-\sqrt{4 - r^2} \leq z \leq \sqrt{4 - r^2}.$$ 3. El volumen $V$ se calcula con la integral triple en coordenadas cilíndricas: $$V = \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{2 \sin \theta} \int_{z=-\sqrt{4 - r^2}}^{\sqrt{4 - r^2}} r \, dz \, dr \, d\theta.$$ 4. Primero integramos respecto a $z$: $$\int_{-\sqrt{4 - r^2}}^{\sqrt{4 - r^2}} r \, dz = r \left[z\right]_{-\sqrt{4 - r^2}}^{\sqrt{4 - r^2}} = r \left(\sqrt{4 - r^2} - (-\sqrt{4 - r^2})\right) = 2r \sqrt{4 - r^2}.$$ 5. Ahora el volumen queda: $$V = \int_0^{\pi} \int_0^{2 \sin \theta} 2r \sqrt{4 - r^2} \, dr \, d\theta.$$ 6. Para integrar respecto a $r$, usamos la sustitución $u = 4 - r^2$, entonces $du = -2r dr$, o $-du = 2r dr$: $$\int 2r \sqrt{4 - r^2} \, dr = \int -\sqrt{u} \, du = - \frac{2}{3} u^{3/2} + C = - \frac{2}{3} (4 - r^2)^{3/2} + C.$$ 7. Evaluamos la integral definida en $r$: $$\left[- \frac{2}{3} (4 - r^2)^{3/2} \right]_0^{2 \sin \theta} = - \frac{2}{3} (4 - 4 \sin^2 \theta)^{3/2} + \frac{2}{3} (4)^{3/2}.$$ 8. Simplificamos: $$4 - 4 \sin^2 \theta = 4 \cos^2 \theta,$$ por lo que $$(4 \cos^2 \theta)^{3/2} = 4^{3/2} |\cos^3 \theta| = 8 |\cos^3 \theta|.$$ 9. Como $0 \leq \theta \leq \pi$, $\cos \theta$ puede ser positivo o negativo, pero $|\cos^3 \theta| = |\cos \theta|^3$. Para simplificar, mantenemos el valor absoluto: $$- \frac{2}{3} \cdot 8 |\cos^3 \theta| + \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} (1 - |\cos^3 \theta|).$$ 10. Por lo tanto, $$V = \int_0^{\pi} \frac{16}{3} (1 - |\cos^3 \theta|) \, d\theta = \frac{16}{3} \int_0^{\pi} (1 - |\cos^3 \theta|) \, d\theta.$$ 11. La integral se puede separar: $$\int_0^{\pi} 1 \, d\theta - \int_0^{\pi} |\cos^3 \theta| \, d\theta = \pi - 2 \int_0^{\pi/2} \cos^3 \theta \, d\theta,$$ porque $|\cos^3 \theta|$ es simétrico y positivo en $[0, \pi/2]$ y negativo en $[\pi/2, \pi]$. 12. Calculamos $$\int_0^{\pi/2} \cos^3 \theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos^2 \theta \cos \theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 \theta) \cos \theta \, d\theta.$$ 13. Usamos la sustitución $u = \sin \theta$, $du = \cos \theta d\theta$: $$\int_0^{\pi/2} (1 - u^2) du = \left[u - \frac{u^3}{3}\right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$$ 14. Entonces, $$\int_0^{\pi} |\cos^3 \theta| d\theta = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.$$ 15. Finalmente, $$V = \frac{16}{3} \left(\pi - \frac{4}{3}\right) = \frac{16}{3} \cdot \frac{3\pi - 4}{3} = \frac{16 (3\pi - 4)}{9}.$$ **Respuesta final:** $$\boxed{V = \frac{16 (3\pi - 4)}{9}}.$$