Question: Una empresa de ingeniería necesita diseñar un tanque de almacenamiento con forma de paraboloide. El tanque está limitado por el paraboloide $$z=x^2+y^2$$ (que representa el fondo del tanque) y el plano $$z=4$$ (que representa la parte superior abierta del tanque).
a) Plantea la integral doble en coordenadas rectangulares para calcular el volumen del tanque.
b) Realiza el cambio a coordenadas polares y calcula el volumen del tanque.
c) Si el tanque se llena de agua hasta una altura de $$3$$ metros, ¿qué volumen de agua contiene? Justifica tu respuesta.
d) Interpreta geométricamente el resultado obtenido en el contexto del diseño del tanque.
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos encontrar el volumen del tanque definido por el paraboloide $$z = x^2 + y^2$$ y el plano $$z = 4$$.
2. **Integral en coordenadas rectangulares:**
El volumen está dado por la integral doble del área entre el paraboloide y el plano:
$$V = \iint_D (4 - (x^2 + y^2)) \, dA$$
Donde $$D$$ es la proyección del tanque en el plano $$xy$$, es decir, el conjunto de puntos donde $$x^2 + y^2 \leq 4$$ (porque el plano superior es $$z=4$$).
3. **Cambio a coordenadas polares:**
Usamos $$x = r\cos\theta$$, $$y = r\sin\theta$$, y $$dA = r \, dr \, d\theta$$.
El dominio $$D$$ en polares es $$0 \leq r \leq 2$$ y $$0 \leq \theta \leq 2\pi$$.
La integral queda:
$$V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2) r \, dr \, d\theta$$
4. **Cálculo de la integral:**
Primero integramos respecto a $$r$$:
$$\int_0^2 (4r - r^3) \, dr = \left[2r^2 - \frac{r^4}{4}\right]_0^2 = \left(2 \times 4 - \frac{16}{4}\right) - 0 = 8 - 4 = 4$$
Luego integramos respecto a $$\theta$$:
$$\int_0^{2\pi} 4 \, d\theta = 4 \times 2\pi = 8\pi$$
Por lo tanto, el volumen del tanque es:
$$V = 8\pi$$
5. **Volumen con altura de agua $$3$$ metros:**
El volumen de agua hasta $$z=3$$ es:
El paraboloide es $$z = r^2$$, entonces el radio máximo para $$z=3$$ es $$r = \sqrt{3}$$.
La integral para el volumen de agua es:
$$V_{agua} = \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{3}} (3 - r^2) r \, dr \, d\theta$$
Calculamos la integral interna:
$$\int_0^{\sqrt{3}} (3r - r^3) \, dr = \left[\frac{3r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\right]_0^{\sqrt{3}} = \left(\frac{3 \times 3}{2} - \frac{9}{4}\right) = \frac{9}{2} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}$$
Luego:
$$V_{agua} = \int_0^{2\pi} \frac{9}{4} \, d\theta = \frac{9}{4} \times 2\pi = \frac{9\pi}{2}$$
6. **Interpretación geométrica:**
El volumen total del tanque es $$8\pi$$ unidades cúbicas, que corresponde al espacio entre el paraboloide y el plano $$z=4$$.
Cuando el tanque se llena hasta $$z=3$$, el volumen de agua es $$\frac{9\pi}{2}$$, que es menor que el volumen total, mostrando que el tanque no está lleno completamente.
Esto es útil para diseñar y calcular la capacidad y niveles de llenado del tanque en la ingeniería.