1. **Planteamiento del problema:** Calcular el volumen de la región delimitada por el paraboloide $$z = 4 - x^2 - y^2$$ y el plano $$z=0$$, con la proyección en el plano $$xy$$ dada por el disco $$x^2 + y^2 \leq 4$$. 2. **Integral triple y forma iterada:** El volumen es $$V = \iiint_E dV$$. En forma iterada: $$V = \iint_R \int_0^{4 - x^2 - y^2} dz \, dA$$ 3. **Resolver la integral interna en $$z$$:** $$\int_0^{4 - x^2 - y^2} dz = 4 - x^2 - y^2$$ Entonces: $$V = \iint_R (4 - x^2 - y^2) \, dA$$ 4. **Dificultad en coordenadas rectangulares:** La región $$R$$ es un círculo $$x^2 + y^2 \leq 4$$, lo que implica límites complicados: $$y = \pm \sqrt{4 - x^2}$$ 5. **Cambio a coordenadas cilíndricas:** Transformación: $$x = r \cos \theta$$ $$y = r \sin \theta$$ $$x^2 + y^2 = r^2$$ Por lo tanto: $$4 - x^2 - y^2 = 4 - r^2$$ 6. **Jacobiano:** El elemento de volumen en coordenadas cilíndricas es: $$dV = r \, dz \, dr \, d\theta$$ 7. **Integral en coordenadas cilíndricas:** $$V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{4 - r^2} r \, dz \, dr \, d\theta$$ 8. **Resolver la integral:** - Integral en $$z$$: $$\int_0^{4 - r^2} r \, dz = r(4 - r^2)$$ - Integral en $$r$$: $$\int_0^2 r(4 - r^2) \, dr = \int_0^2 (4r - r^3) \, dr = \left[2r^2 - \frac{r^4}{4}\right]_0^2 = 2(4) - \frac{16}{4} = 8 - 4 = 4$$ - Integral en $$\theta$$: $$\int_0^{2\pi} 4 \, d\theta = 4(2\pi) = 8\pi$$ **Resultado final:** $$\boxed{V = 8\pi}$$