Volumen Paraboloide C99E33

1. **Planteamiento del problema:** Queremos encontrar el volumen de la región sólida $D$ limitada por las superficies $z=4-x^2-y^2$ y $z=0$. 2. **Descripción de la región:** La superficie $z=4-x^2-y^2$ es un paraboloide invertido con vértice en $(0,0,4)$ y la superficie $z=0$ es el plano $xy$. 3. **Límites de integración en coordenadas cilíndricas:** Recordemos que en coordenadas cilíndricas: $$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=z$$ La ecuación del paraboloide se convierte en: $$z=4-r^2$$ El plano $z=0$ es el límite inferior para $z$. Para la región sólida Tipo I, los límites son: - $\theta$ de $0$ a $2\pi$ (cubre todo el círculo en $xy$). - $r$ de $0$ a $2$ porque $z=0$ y $z=4-r^2$ se intersectan cuando $4-r^2=0 \Rightarrow r^2=4 \Rightarrow r=2$. - $z$ de $0$ a $4-r^2$. 4. **Integral triple para el volumen:** El volumen $V$ es: $$V=\int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{4-r^2} r \, dz \, dr \, d\theta$$ 5. **Cálculo de la integral:** Primero integramos respecto a $z$: $$\int_0^{4-r^2} r \, dz = r[z]_0^{4-r^2} = r(4-r^2)$$ Luego la integral queda: $$\int_0^{2\pi} \int_0^2 r(4-r^2) \, dr \, d\theta$$ 6. **Integración respecto a $r$:** $$\int_0^2 r(4-r^2) \, dr = \int_0^2 (4r - r^3) \, dr = \left[2r^2 - \frac{r^4}{4}\right]_0^2 = \left(2(4) - \frac{16}{4}\right) = 8 - 4 = 4$$ 7. **Integración respecto a $\theta$:** $$\int_0^{2\pi} 4 \, d\theta = 4[\theta]_0^{2\pi} = 4(2\pi) = 8\pi$$ 8. **Resultado:** El volumen de la región sólida es: $$V = 8\pi$$ 9. **Verificación con fórmula del volumen de un paraboloide:** El volumen de un paraboloide $z = h - \frac{r^2}{a^2}h$ con altura $h=4$ y radio máximo $r=2$ es: $$V = \frac{1}{2} \pi r^2 h = \frac{1}{2} \pi (2)^2 (4) = \frac{1}{2} \pi \times 4 \times 4 = 8\pi$$ Esto coincide con el resultado obtenido por la integral triple, confirmando que el cálculo es correcto.